Question

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит этот треугольник на два. Расстояние между центрами окружностей, вписанных в эти треугольники, равно 1. Найдите радиус окружности, вписанной в исходный треугольник.

Answer 1

Я не знаю, как положено решать эту задачу, но я нашел удивительно красивое геометрическое решение.

См. чертеж. Внимательно посмотрите на обозначения! Скажем, М - основание высоты СМ = h, ВМ = х, и так далее.

Рассмотрим треугольник О1О2М. Легко видеть, что О1К1МР1 - квадрат (К1 и Р1 - точки касания АВ и СМ первой окружности), поэтому О1М = r1*корень(2);

Точно так же О2М = r2*корень(2);

Кроме того, О1М перпендикулярно О2М - это биссектрисы смежных углов. 

Итак, О1О2М - прямоугольный треугольник с катетами r1*корень(2) и r2*корень(2)

Высота делит прямоугольный треугольник на два, ему подобных. Треугольники ВСМ и САМ (и АВС, конечно) подобны.

Поскольку в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности

r = (a + b - c)/2, то в подобных треугольниках отношение радиусов такое же, как отношение сторон. Это означает, что

r2/r1 = h/x (отношение малых катетов в треугольниках САМ и СВМ)

Но h - большой катет в треугольнике ВСМ. 

Поэтому перед нами соотношение, ДОКАЗЫВАЮЩЕЕ подобие треугольников ВСМ и О1О2М !!!!!!!

В самом деле, мы УЖЕ доказали, что О1М/О2М = ВМ/СМ. Для прямоугольного треугольника этого вполне достаточно.

Для радиуса вписанной окружности r треугольника АВС тоже можно записать соотношение подобия (пропорциональности) с треугольником ВСМ.

r/r1 = c/b (b - гипотенуза в треугольнике ВСМ).

Но c/b = d/(r1*корень(2)) (отношение гипотенузы к малому катету в треугольниках АВС и О1О2М). 

поэтому 

r/r1 = d/(r1*корень(2));

r = d/корень(2);

ну, d = 1 по условию.

 

Всё так удачно складывается именно потому, что h и b играют как-бы двойную роль - h - малый катет в СМА и большой в ВМС, а b - малый катет в АВС, и гипотенуза в ВМС.