Question

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, все рёбра которой равны 6. Точка N — середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 5:1, считая от вершины M.а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.б) Найдите площадь этого сечения.

Answer 1

Для построения заданного сечения соединим точки N и K.

Т.к. сечение параллельно AD и проходит через точку N, то проводим в плоскости MAD прямую NP, параллельную AD - это средняя линия треугольника MAD.

Проведем прямую KL ║ BC в ΔMBC. Т.к. BC ║ AD, то KL ║ AD и следовательно прямая KL проходящая через точку K и будет одной из сторон сечения.

Окончательно соединяем точки P и L лежащие в одной плоскости и получаем сечение NKLP.

Т.к. KL ║ AD и NP ║ AD, то KL ║ NP и следовательно NKLP - трапеция.

ΔDMC = ΔAMB (т.к. пирамида правильная) ⇒ ∠DMC = ∠AMB

PM = NM (т.к. ΔDMA равносторонний и NP ║ AD)

LM = KM  (т.к. ΔBMC равносторонний и KL ║ BC)

Тогда ΔPML = ΔNMK (по двум сторонам и углу между ними).

Следовательно PL = NK и трапеция NKLP - равнобедренная.

Одно из оснований трапеции PN = 3, т.к. является средней линией в ΔAMD с основанием AD = 6

Второе основание KL = 5, т.к. ΔBMC ≈ ΔKML (по трем углам) с коэффициентом подобия 6/5

Найдем боковую сторону трапеции PL из ΔPML, в котором ∠PML = 60°, PM = 3, LM = 5 по теореме косинусов:

$PL^2=PM^2+LM^2-2*PM*LM*\cos{\widehat{PML}}=3^2+5^2-2*3*5*\frac{1}{2}=34-15=19$

Найдем высоту NH трапеции NKLP. Т.к. трапеция равнобедренная, то

$HK=\frac{KL-PN}{2}=1$

Из прямоугольного ΔNHK

$NH=\sqrt{NK^2-HK^2}=\sqrt{PL^2-HK^2}=\sqrt{19-1}=3\sqrt{2}$

Окончательно находим площадь сечения:

$S_{LPNK}=\frac{LK+PN}{2}*NH=\frac{5+3}{2}*3*\sqrt{2}=12\sqrt{2}$