Question

В правильной треугольной пирамиде SABC точка М – середина ребра SC, точка К – середина ребра АВ. а) Докажите, что прямая МК делит высоту SH пирамиды в отношении 1:3. б) Найдите угол между прямой МК и плоскостью АВС, если известно, что АВ=6, SA=5.

Answer 1

а) В правильном треугольнике СК - высота, биссектриса и медиана.

КН/НС=1/2 (свойство).

НN║KM, CN/NM=CH/HK=1/2. (теорема Фалеса)

SM=MC => MN=(1/3)*SM.

НР/PS=NM/MS=1/3 (теорема Фалеса).

Что и требовалось доказать.

б) Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Опустим перпендикуляр МТ на плоскость АВС. Основание этого перпендикуляра окажется на прямой СК, так как плоскость КSC перпендикулярна плоскости АВС.

В нашем случае искомый угол - это угол МКС, так как КТ - проекция прямой МК на плоскость АВС.

Высота СК правильного треугольника АВС (формула):

СК=(√3/2)*а = 3√3 (при стороне АВ=6).

КН=(1/3)*СК = √3.

SK=4 (так как треугольник ASK - пифагоров: АК=3, SA=5).

SH=√(SK²-KH²) = √(16-3) =√13.

PH=(1/4)*SH =√13/4 (доказано в пункте а).

tgα=PH/KH=√13/(4√3) = √39/12.

α= arctg(√39/12) ≈ 27,5°