Question

Дан прямоугольный треугольник АВС. В него вписана окружность. Площадь треугольника 24, r=2. Найти R.

Answer 1

Для прямоугольного треугольника:
S=p*r, где p - полупериметр, а r - радиус вписанной окружности.
Найдем р=S/r или р=24/2=12. Значит периметр равен 24.
С другой стороны, радиус вписанной окружности прямоугольного  треугольника  r=(a+b-c)/2, где a,b - катеты, с - гипотенуза.
Отсюда (a+b-c)=4. (1)
Мы нашли, что (a+b+c)=24. (2). Из системы уравнений (1) и (2) находим, что гипотенуза с=10.
Но в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть R=c/2 или R=10:2=5.
Ответ: R=5.