Question

На прямой содержащей медиану ad прямоугольного треугольника abc с прямым углом. C взята точка e удаленая от вершины a. На расстояние равное 4 ,найти площадь треугольника. bce, если bc -6 , ac-4

Answer 1

Рассматриваем прямоугольный ΔAFC. В нем катет AC=4 по условию, катет FC= (как половина ВС, поскольку AF - медиана. Гипотенуза AF может быть найдена по теореме Пифагора, но поскольку катеты равны 3 и 4, то это случай "египетского треугольника" (соотношение сторон 3:4:5) и можно без вычислений сказать, что его гипотенуза равна 5.
Тогда cos(FAC)=AC/AF=4/5=0.8, sin(FAC)=FC/AF=3/5=0.6.
Теперь рассмотрим ΔAEC. По условию EF=1 ⇒ AE=AF-EF=5-1=4.
По теореме косинусов EC²=AE²+AC²-2*AE*AC*cos(EAC)=4²+4²-2*4*4*0.8=16+16-25.6=6.4 ⇒ EC=√(6.4)≈2.53.
По теореме синусов EC/sin(EAC)=AE/sin(α) ⇒ sin(α)=AE*sin(EAC)/EC=4*0.6/√(6.4)=2.4/√(6.4).
Угол АСВ - прямой, поэтому угол β=π/2-α.
sin(β)=sin(π/2-a)=cos(α)=√(1-sin²α)=√(1-2.4²/6.4)=√(0.1)
Площадь ΔBCE=(1/2)*EC*BC*sin(β)=(1/2)*√(6.4)*6*√(0.1)=3√(0.64)=3*0.8=2.4 (ед²)

Answer 2

Для начала нужно найти длину медианы. Делается это следующим образом. Треугольник достраивается до четырехугольника и записывается стандартная для параллелограмма формула, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон, умноженная на 2. А медиана - половина одной из диагоналей. В квадрате появится четверка:
BC^2+4AD^2=2(AC^2+AB^2)
Отсюда AD=5.(AB находится по теореме Пифа). Соответсnвенно AE=4.
Далее рассматриваются 2 треугольника подобных : AKE и ACD. Соотношение подобия:
AK/AC=AE/AD. Отсюда AK=16/5, поэтому KC=4/5. 
KC- высота в искомом треугольнике BCE. Сторона BC. Искомая площадь: KC*BC/2. Это 2,4.