Question

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна к боковой стороне и равна 4. Найти площадь трапеции...

Answer 1

Выведем некие следствия,так как у нас трапеция равнобедренная  то боковые стороны равны, пусть одна  боковая сторона равна $x$, то другая следовательно тоже равна $x$. Так как у нас диагональ перпендикулярна, иными словами под 90 гр, то пусть     большое основание равна $y$ , тогда справедлива теорема Пифагора ! 
$4^2+x^2=y^2$
У равнобедренной трапеций углы при оснований равны, то пусть в прямоугольном треугольнике , образованным диагональю нашей трапеций равен $\alpha$, то другой угол равен $90- \alpha$, и пусть угол при меньшем оснований равны $\beta$ ,то в сумме 
$90- \alpha + \beta =180\\ \beta - \alpha =90$
тогда , по теореме косинусов выразим диагональ.
$2x^2+2x^2*cos(90+ \alpha )=16$
и в прямоугольном треугольнике , следует что , большое основание равна 
$y*cos \alpha =4$
Решим систему . Я сразу привел все в порядок
$x^2+16=y^2\\ y*cos \alpha =4\\ 2x^2+2x^2*sin \alpha =16$
решим 
$(y*cos \alpha )^2=16\\ y^2=\frac{16}{cos^2 \alpha }\\ \\ x^2+16=\frac{16}{cos^2 \alpha }\\ 2x^2+2x^2*sina=16\\ \\ x^2+16=\frac{16}{1-sin^2 \alpha}\\ 2x^2+2x^2*sina=16\\ \\ (x^2+16)(1-sin^2a)=2x^2+2x^2*sina$
Приводя подобные , получим 
$x=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ y=\frac{8}{\sqrt{3}}$
Теперь нужно найти высоту, а высота как известно в прямоугольном треугольнике, равна произведению катетов на гипотенузу, то есть 
$h=\frac{4*\frac{4}{\sqrt{3}}}{\frac{8}{\sqrt{3}}}=2\\ S=\frac{\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}}{2}*2=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$

Answer 2

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна к боковой стороне и равна 4. Найти площадь трапеции.
----------------------
Проведем прямую СЕ параллелльно АВ, и прямую ВЕ - параллельно СD. 
Так как боковые стороны и меньшее основание трапеции равны,
получим ромб ВСDЕ, диагонали в котором перпендикулярны друг другу. 
Диагонали ромба делят его углы пополам. 
Треугольники  ВСЕ=∆CDE- равнобедренные  и равносторонние.
  ВС=СD=ED. 
Точно так же является равносторонним  треугольник АВЕ. 
  МЕ=МС ( диагонали при пересечении делятся пополам). 
Отсюда высота равностороннего треугольника ВМ=ВD:2 =4:2=2   
Данная трапеция состоит из трех равных равносторонних треугольников. 
Площадь каждого из них, найденная через высоту, может быть найдена по формуле  
S∆ ВСЕ = h²:√3   
S∆ ВСЕ = 2²:√3=4:√3 
Вся площадь трапеции в три раза больше и равна
 Sтрап.=3*4:√3=12:√3
------------
Можно найти сначала сторону, затем по формуле площади равностороннего треугольника S= (a²√3):4
Это несколько продлит решение, а результат будет тем же.