Question

В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АВ проведена высота СМ.Площадь треугольника АСМ равна 6 см квадратных,а площадь треугольника ВСМ - 54 см квадратных.Найдите стороны треугольника АВС

Answer 1

Не знаю, может, не самое простое решение, но думать чего-то не хочется...
обозначь( для простоты решения)  b=АС, a=BC, x=AM, y=MB
x*h/2=6
y*h/2=54  отсюда y=9x,  АВ=х+9х=10х    запомним.

$x^{2} + h^{2}= b^{2} \\ y^{2} + h^{2} = a^{2} \\ =\ \textgreater \ y^{2}- x^{2}= a^{2}- b^{2} \\ (9x)^{2}- x^{2} = a^{2}- b^{2} \\ a^{2} - b^{2}=80 x^{2}$


$a^{2} + b^{2} = (10x)^{2}$
a*b/2=60

решая систему трех ур-ий с 3-я неизвестными получаем
a=6√10
b=2√10
c=20