Question

Как из формулы r=S/p для произвольного треугольника, вывести формулу для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Answer 1

А, в - катеты, с - гипотенуза.
S=а·в/2.
р=(а+в+с)/2, значит
r=S/p=а·в/(а+в+с) - это ответ.

P.S. Есть еще формула r=(а+в-с)2, но она выводится по-другому, не из формулы r=S/p.

Хорошо. Есть старый рисунок, используем его.
А и B - катеты, С -  гипотенуза. На рисунке видно, что гипотенуза С=а+х.
Касательные к окружности из одной точки равны, значит катеты: А=a+r и В=х+r, сумма катетов: А+В=2r+a+x=2r+C ⇒ r=(A+B-C)/2.

Answer 2

Для вывода формулы для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник, мы можем использовать свойства вписанной окружности.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Тогда, согласно теореме Пифагора, выполняется следующее равенство: c^2 = a^2 + b^2.

Также, известно, что радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к полупериметру треугольника: r = S/p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

Для нахождения площади треугольника, можно воспользоваться формулой Герона: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p = (a+b+c)/2 - полупериметр треугольника.

Теперь, зная формулу для площади треугольника и равенство c^2 = a^2 + b^2, мы можем выразить радиус вписанной окружности:

r = S/p = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))/(a+b+c)/2 = 2sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))/(a+b+c).

Таким образом, получаем формулу для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник: r = 2sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))/(a+b+c), где a, b, c - длины сторон треугольника, p - полупериметр треугольника.