Question

Высоты AH и BK равнобедренного треугольника ABC с основанием BC пересекаются в точке O так, что BO=5, OK=3. Нaйдите AH

Answer 1

Пусть АО=Х, ОН=У(смотри рисунок). Далее получим два уравнения из подобия прямоугольных треугольников(по острому углу). Разделим (1) на (2) и получим уравнение в которое пдставим значение У=15/Х.  Ответ АН=4 корня из 5.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится теорема о высотах равнобедренного треугольника.

Теорема: В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные из вершин основания, равны.

Обозначим точки пересечения высот со сторонами треугольника следующим образом: точка пересечения высоты, опущенной из вершины A, с основанием BC - точка D; точка пересечения высоты, опущенной из вершины B, с основанием AC - точка E.

По условию дано, что BO = 5 и OK = 3. По теореме о высотах равнобедренного треугольника получаем, что OD = DE = 5 и OE = DC = 3.

Из прямоугольного треугольника BOD можно найти значение BD:

BD^2 = BO^2 - OD^2 BD^2 = 5^2 - 5^2 BD^2 = 0 BD = 0

Значит, точка D совпадает с основанием BC, а значит, высота AH содержится в стороне BC. При этом она делит сторону BC пополам (AH = HD).

Таким образом, AH = HD = BC / 2.

Ответ: AH = BC / 2.