Question

В треугольнике АВС угол В=23 градуса , угол С=41 градус , АD биссектриса. Е - такая точка АВ, что АЕ=АС. Найдите угол ВDЕ. ответ дайте в градусах. Если можно поподробней решение напишите.

Answer 1

Соединим точки Е и С. Треугольник ЕСА - равнобедренный, так как АС=АЕ (это дано).

Углы при основании ЕС равны между собой, а угол А равен 180° -(В+С) = 116°. Тогда углы АЕС и ЕСА  равны (180°-116°):2=32°. Значит угол ЕFA (F- это точка пересечения биссектрисы AD и отрезка ЕС) = 180°-(AEF+EAF) = 180°-(32°+58°)=90°. (угол EAF = 1/2 угла А, т.к. AD - биссектриса. Угол AEF = 32°, как угол при основании ЕС равнобедренного тр-ка ЕАС). Итак, при точке пересечения биссектрисы AD и отрезка ЕС все углы прямые!

В равнобедренном треугольнике ЕСА биссектриса AF (отрезок AD) является и медианой и высотой (по свойствам равнобедренного тр-ка) и EF=FC. С другой стороны, по признакам равнобедренности - если EF=FC, то тр-ник EDC, в котором FD является и медианой и высотой, равнобедренный. То есть ED=DC.Углы при основании тр-ка EDC равны угол С - угол ECA = 41°-32° = 9°. Тогда на стороне АB имеем углы АEF,DEF и BED, в сумме равные 180°.

из них нам неизвестен только угол BED, который равен 180°-(32°+9°) = 139°.

Тогда искомый угол BDE в тр-ке BDE равен 180°-(23°+139°) = 18°.

Ответ: угол BDE = 18°

 

Answer 2

Problem Analysis

We are given a triangle ABC with angle B = 23 degrees, angle C = 41 degrees, and AD is the bisector. Point E is on AB such that AE = AC. We need to find angle BDE.

Solution

To solve this problem, we can use the angle bisector theorem and the fact that the sum of angles in a triangle is 180 degrees.

Let's start by applying the angle bisector theorem. According to the theorem, the ratio of the lengths of the two segments created by the angle bisector is equal to the ratio of the lengths of the two sides opposite those segments. In this case, we have:

AE / EC = AB / BC

Since AE = AC, we can substitute AC for AE:

AC / EC = AB / BC

Now, let's substitute the given values:

AC / EC = AB / BC AC = AB EC = BC

Since AC = AB, we can conclude that triangle ABC is an isosceles triangle with AC = AB.

Next, let's consider triangle ADE. We know that AD is the bisector of angle BAC, so angle BAD is congruent to angle CAD. Since triangle ABC is isosceles, angle BAC is congruent to angle BCA. Therefore, angle BAD is congruent to angle CAD, and triangle ABD is isosceles.

Now, let's consider triangle BDE. We know that triangle ABD is isosceles, so angle ADB is congruent to angle ABD. Since angle BDA is congruent to angle BCA (both are vertical angles), we can conclude that triangle BDA is isosceles.

Since triangle BDA is isosceles, angle BDE is congruent to angle BED.

Now, let's summarize the information we have so far: - Triangle ABC is isosceles with AC = AB. - Triangle ABD is isosceles with angle ADB congruent to angle ABD. - Triangle BDA is isosceles with angle BDA congruent to angle BCA.

Using this information, we can determine the value of angle BDE.

Let's denote angle BDE as x. Since triangle BDA is isosceles, we have:

angle BDA = angle BCA = 41 degrees

Since angle ADB is congruent to angle ABD, we have:

angle ADB = angle ABD = (180 - angle BDA) / 2 = (180 - 41) / 2 = 69.5 degrees

Since angle BDE is congruent to angle BED, we have:

angle BDE = angle BED = (180 - angle ADB) / 2 = (180 - 69.5) / 2 = 55.25 degrees

Therefore, the measure of angle BDE is 55.25 degrees.

Conclusion

In triangle ABC, with angle B = 23 degrees, angle C = 41 degrees, and AD as the bisector, we found that angle BDE is 55.25 degrees.