Question

Треугольник АВС задан координатами своих вершин А (0;1) В (1;-4) С (5;2) найдите медиану,проведенную из вершины А.Докажите что треугольник АВС равнобедренный

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника: А (0;1), В (1;-4), С (5;2). 
Основание медианы АА₁ (точка пересечения медианы со стороной). А₁(Ха1;Уа1)  = ((Хв+Хс)/2; (Ув+Ус)/2) =  (3; -1).
Длина медианы равна:
АА₁ = √((Ха1-Ха)²+(Уа1-Уа)²)) = √13 ≈ 3,605551275.
Уравнение медианы:
АА₁ :   Х-Ха            У-Уа
         ----------   =   ----------         
         Ха1-Ха        Уа1-Уа

         у = -(2/3)х + 1

         2 Х + 3 У - 3 = 0.

Расчет длин сторон
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √26 ≈ 5,099019514.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √52 ≈ 7,211102551. 
AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √26 ≈  5,099019514.
Отсюда видно, что стороны АВ и АС равны, значит, треугольник равнобедренный.

Answer 2

Для начала, найдем координаты середины стороны BC, которую мы будем обозначать как точку D.

Середина стороны BC имеет координаты, которые являются средними значениями по соответствующим координатам точек B и C.

Координаты точки B: (1, -4) Координаты точки C: (5, 2)

Для нахождения координаты x точки D, мы берем среднее значение координат точек B и C: x_d = (x_b + x_c) / 2 = (1 +5) / 2 = 6 / 2 = 3

Для нахождения координаты y точки D, мы берем среднее значение координат точек B и C: y_d = (y_b + y_c) / 2 = (-4 + 2) / 2 = -2 / 2 = -1

Таким образом, координаты точки D равны (3, -1).

Теперь мы можем найти уравнение прямой, проходящей через точки A и D (медиану). Мы можем использовать формулу уравнения прямой, которая выглядит следующим образом:

y = mx + b

где m - угловой коэффициент прямой, b - свободный член.

Угловой коэффициент прямой можно найти, используя формулу:

m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)

где (x_1, y_1) - координаты точки A, (x_2, y_2) - координаты точки D.

Подставляя значения в формулу, получим:

m = (-1 - 1) / (3 - 0) = -2 / 3

Таким образом, угловой коэффициент прямой равен -2/3.

Теперь найдем свободный член b, подставив значения координат точки A и углового коэффициента m в уравнение прямой:

1 = (-2/3) * 0 + b b = 1

Таким образом, уравнение медианы, проведенной из вершины A, будет выглядеть следующим образом:

y = (-2/3)x + 1

Для доказательства того, что треугольник АВС равнобедренный, нам нужно показать, что длины двух его сторон равны. Мы можем использовать расстояние между точками формулу для нахождения длин сторон треугольника.

Сторона AB: d_ab = √((x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2) = √((1 - 0)^2 + (-4 - 1)^2) = √(1 + 25) = √(26)

Сторона AC: d_ac = √((x_c - x_a)^2 + (y_c - y_a)^2) = √((5 - 0)^2 + (2 - 1)^2) = √(25 + 1) = √(26)

Как мы видим, длины сторон AB и AC одинаковы и равны √(26), поэтому треугольник АВС является равнобедренным.