Question

Высота правильной треугольной призмы равна 16см.Диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов.Найдите площадь поверхности призмы.

Answer 1

Площадь полной поверхности состоит из площади боковой поверхности площади оснований.

Answer 2

Давайте обозначим данную правильную треугольную призму. Пусть ее высота равна \( h = 16 \) см, и диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания под углом \( 45^\circ \).

1. Найдем длину бокового ребра призмы:

Рассмотрим правильный треугольник, образованный высотой призмы, половиной длины бокового ребра и диагональю боковой грани. Этот треугольник - прямоугольный треугольник с углом \( 45^\circ \). По теореме синусов:

\[ \sin(45^\circ) = \frac{h}{l/2}, \]

где \( l \) - длина бокового ребра. Решив это уравнение, найдем \( l \).

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{16}{l/2}, \]

\[ l = 32/\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \] см.

2. Найдем площадь поверхности призмы.

Площадь поверхности призмы складывается из площадей основания и боковой поверхности.

- Площадь основания: \( A_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot l^2 \), где \( l \) - длина бокового ребра.

\[ A_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (16\sqrt{2})^2 = 64\sqrt{3} \] см².

- Площадь боковой поверхности: \( A_{\text{бок}} = l \cdot h \).

\[ A_{\text{бок}} = (16\sqrt{2}) \cdot 16 = 256\sqrt{2} \] см².

Теперь сложим площади основания и боковой поверхности:

\[ A_{\text{пов}} = A_{\text{осн}} + A_{\text{бок}} = 64\sqrt{3} + 256\sqrt{2} \] см².

Итак, площадь поверхности данной призмы равна \( 64\sqrt{3} + 256\sqrt{2} \) см².