Question

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MKP, если MР 12√2 см, а угол MKP-45 .

Answer 1

MP/sinK=2R. (12√2)/(1/√2)=2R, 24=2R, R=12

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами треугольника, описанного около окружности.

По свойству описанной около треугольника окружности, центр окружности лежит на перпендикулярной биссектрисе угла между сторонами треугольника.

Пусть AB - сторона треугольника mkp (продолжение прямой km) и BC - сторона треугольника mkp (продолжение прямой kp). Тогда треугольник ABC равнобедренный, так как AB = BC (по свойству описанной около треугольника окружности).

Чтобы найти радиус окружности, нужно найти высоту треугольника mkp (то есть высоту треугольника ABC), опущенную из вершины C на сторону AB.

Обозначим H - точка пересечения высоты с стороной AB.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то биссектриса по основанию AB является и высотой, а также медианой.

Тогда угол BCH (угол между биссектрисой и высотой) равен половине угла mkp, то есть 45°/2 = 22.5°.

Также угол HCB (угол между высотой и стороной AB) равен углу мкр, так как угол прямой треугольник mkp равен 45°.

Из свойств прямоугольного треугольника в прямоугольнике BCH (где нC - прямой), где BC - гипотенуза (отрезок mk), BH - катет (высота треугольника) и CH - катет (сторона треугольника mkp) можно найти длину катета BH:

BH = BC * sin(HCB) = 12√2 * sin(22.5°).

Теперь нам нужно найти радиус окружности, для этого нужно найти длину стороны AB (или стороны BC) треугольника mkp.

Из свойств прямоугольного треугольника в треугольнике mkp (где mC - прямой), где BC - гипотенуза (отрезок mkp), BM - катет (половина длины стороны) и CM - катет (половина длины стороны):

BM = BC * cos(HCB) = 12√2 * cos(22.5°).

Тогда длина стороны BC (или AB):

BC = 2 * BM = 2 * 12√2 * cos(22.5°).

Теперь можно найти радиус окружности, для этого нужно разделить сторону BC (или AB) на 2:

Радиус окружности = BC / 2 = (2 * 12√2 * cos(22.5°)) / 2 = 12√2 * cos(22.5°).

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника mkp, равен 12√2 * cos(22.5°) см.