Question

Окружность с центром О (0;0) проходит через точку А (12;-5). Вычислить S вписанного в окружность квадрата и длину окружности.

Answer 1

Находишь радиус через теорему Пифагора, длина окр.(L=πR)
плащадь квадрата(S=d^2/2) диагональ квадрата в данном случае равна два радиуса, по условию

Answer 2

Для решения этой задачи давайте следовать шаг за шагом.

1. Найдем радиус окружности. Радиус \(r\) можно найти, используя координаты центра окружности \(O\) и точки на окружности \(A\). Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) на плоскости вычисляется по формуле:

\[ r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

В данном случае: \[ r = \sqrt{(0 - 12)^2 + (0 - (-5))^2} \] \[ r = \sqrt{12^2 + 5^2} \] \[ r = \sqrt{144 + 25} \] \[ r = \sqrt{169} \] \[ r = 13 \]

Таким образом, радиус окружности \(r = 13\).

2. Теперь найдем площадь квадрата, вписанного в эту окружность. Диагональ квадрата совпадает с диаметром окружности, и ее длина равна удвоенному радиусу, то есть \(2r\). Сторона квадрата равна \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) от длины диагонали.

Длина диагонали квадрата: \[ D = 2r = 2 \times 13 = 26 \]

Длина стороны квадрата: \[ s = \frac{D}{\sqrt{2}} = \frac{26}{\sqrt{2}} = 13\sqrt{2} \]

Площадь квадрата: \[ S_{\text{квадрата}} = s^2 = (13\sqrt{2})^2 = 338 \]

3. Теперь вычислим длину окружности. Длина окружности \(C\) вычисляется по формуле:

\[ C = 2\pi r \]

В данном случае: \[ C = 2\pi \times 13 \approx 81.68 \]

Таким образом, вписанный в окружность квадрат имеет площадь \(338\) и длину окружности около \(81.68\).