Question

Через точку внутри равнобедренного треугольника проведены прямые параллельные боковым сторонам. Докажите что эти прямые образуют равнобедренный треугольник с углами равными углам данного треугольника

Answer 1

Тр-ник АВС - равнобедр. АС - основание.
О - точка внутри тр-ка.Через точку О проведем две прямые, параллельные бокавым сторонам АВ и ВС. Эти прямые пересекут основание АС в точках М и К. 
Значит ОМ параллельно АВ, ОК параллельно ВС.
Мы имеем две параллельные прямые АВ и МО и секущую АС.
Угол ВАС = ОМК как соответствующие углы при указанных параллельных прямых и секущей.
Аналогично, паралельные прямые ВС и ОК и секущая АС.
Углы ВСА = ОКМ как соответствующие при указанных параллельных прямых и секущей.
В тр-ке МОК два угла при основании МК равны двум углам тр-ка АВС при основании АС.
Тр-ник, у которого два угла равны, называется равнобедренным.
Доказано.

Answer 2

Давайте рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC. Пусть M - середина стороны BC. Также, пусть D и E - точки пересечения прямых, проведенных через точку M параллельно сторонам AB и AC соответственно.

Так как AM - медиана треугольника ABC, то она делит сторону BC пополам. Следовательно, BM=MC.

Также, из условия задачи мы знаем, что DE параллельно BC и проходит через точку M. Из этого следует, что BM=MD и MC=ME.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и ACE:

1. AB=AC (по условию равнобедренности треугольника ABC). 2. BM=MD и MC=ME (как было показано выше). 3. Углы B и C противоположны сторонам AB и AC соответственно.

Из этих фактов следует, что треугольники ABD и ACE подобны по сторонам и углам (по стороне-углу-стороне).

Теперь рассмотрим углы треугольника ABC:

1. Угол BAC (угол между сторонами AB и AC). 2. Угол ABC (противолежащий боковой стороне AC). 3. Угол ACB (противолежащий боковой стороне AB).

Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол ABC = угол ACB.

Теперь, так как треугольники ABD и ACE подобны, соответствующие углы B и C также равны между собой. Из этого следует, что угол BAC равен углу ABC (и углу ACB).

Таким образом, у нас есть равнобедренный треугольник ABD, образованный прямыми, проведенными через точку M и параллельными боковым сторонам равнобедренного треугольника ABC.