Question

и 3x-y+2z-5=0Установить взаимное расположение прямой и плоскости. В случае пересечения - найти координаты точки пересечения.

Answer 1

Заданные уравнения можно решить методом Крамера как систему.

x       y       z B 88 Определитель

4          0     -5         3  

0          4       -1 11  

3       -1        2 5  

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:      

3       0 -5  176 Определитель

11       4 -1    

5       -1 2    

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:      

4       3 -5  264 Определитель

0      11 -1    

3       5 2    

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:      

4       0 3  88 Определитель

0        4 11    

3       -1 5    

x = 176/88 = 2,    

y = 264/88 = 3,    

z = 88/88 = 1.    

Это координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Answer 2

Для определения взаимного расположения прямой и плоскости, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения плоскости.

Уравнение прямой дано в параметрической форме: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct,

где (x0, y0, z0) - координаты произвольной точки прямой, a, b, c - направляющие коэффициенты прямой, t - параметр.

Уравнение плоскости дано в общем виде: Ax + By + Cz + D = 0,

где A, B, C - коэффициенты плоскости, D - свободный член.

В нашем случае уравнение прямой имеет вид: x = t, y = 3t - 5, z = 2t,

а уравнение плоскости: 3x - y + 2z - 5 = 0.

Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости: 3(t) - (3t - 5) + 2(2t) - 5 = 0, 3t - 3t + 5 + 4t - 5 = 0, 4t = 0, t = 0.

Подставим найденное значение t в параметрические уравнения прямой: x = 0, y = 3(0) - 5 = -5, z = 2(0) = 0.

Таким образом, прямая и плоскость пересекаются в точке с координатами (0, -5, 0).