Question

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 5√6. Найдите расстояние между прямыми AB1 и BD1

Answer 1

Прямые АВ1 и ВД1 являются скрещивающимися.
Чтобы найти расстояние между такими прямыми нужно одну из прямых перенести параллельно самой себе так, чтобы она пересекла плоскость другой прямой.
Переносим прямую ВД1 (главную диагональ куба) параллельно себе. Получим прямую В2Д2, которая пересекла плоскость АА1В1В в точке Е, являющейся серединой отрезка АВ1 и серединой отрезка В2Д2. Из точки Е опустим перпендикуляр на прямую ВД1 и попадём точно в середину ВД1, которая является и центром куба О.
Расстояние ЕО и будет расстоянием между прямыми АВ1 и ВД1.
Отрезок ЕО - есть расстояние между центром плоскости АА1В1В  и центром куба. Это расстояние по величине равно половине ребра.
Таким образом, ЕО = 0,5 · 5√6 = 2,5√6
Ответ: 2,5√6

Answer 2

Чтобы найти расстояние между прямыми, сначала определим уравнения этих прямых, а затем воспользуемся формулой расстояния между двумя параллельными прямыми.

Для начала рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1. Так как дано, что ребро куба равно 5√6, это означает, что длина каждой стороны куба равна 5√6/√2 = 5√3.

Теперь определим координаты точек A, B, B1, D и D1 в пространстве. Поскольку куб, A, B и C лежат в одной плоскости, их координаты будут следующими (пусть сторона куба равна a):

- A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, a, 0) - D(0, a, 0)

Также, A1, B1, C1 и D1 будут иметь такие координаты, но с координатой z равной 5√3 (высота куба).

- A1(0, 0, 5√3) - B1(a, 0, 5√3) - C1(a, a, 5√3) - D1(0, a, 5√3)

Теперь у нас есть координаты точек. Далее определим уравнения прямых AB1 и BD1.

Уравнение прямой в трехмерном пространстве можно записать в параметрической форме:

\[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \]

где \( (x_0, y_0, z_0) \) - координаты точки на прямой, \( (a, b, c) \) - направляющий вектор прямой, и \( t \) - параметр.

Для прямой AB1:

\[ \begin{cases} x = 0 + at \\ y = 0 + bt \\ z = 0 + 5\sqrt{3}t \end{cases} \]

или

\[ \begin{cases} x = at \\ y = bt \\ z = 5\sqrt{3}t \end{cases} \]

Теперь определим уравнение прямой BD1:

\[ \begin{cases} x = 0 + at' \\ y = a + bt' \\ z = 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3}t' \end{cases} \]

или

\[ \begin{cases} x = at' \\ y = a + bt' \\ z = 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3}t' \end{cases} \]

Теперь используем формулу расстояния между двумя параллельными прямыми. Если у нас есть уравнения двух прямых в параметрической форме:

\[ \frac{x - x_1}{a_1} = \frac{y - y_1}{b_1} = \frac{z - z_1}{c_1} = t_1 \]

\[ \frac{x - x_2}{a_2} = \frac{y - y_2}{b_2} = \frac{z - z_2}{c_2} = t_2 \]

Тогда расстояние между этими прямыми равно:

\[ d = \frac{|(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1) \cdot \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2|}{|\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2|} \]

где \( \mathbf{r}_1 \) и \( \mathbf{r}_2 \) - точки на прямых, \( \mathbf{v}_1 \) и \( \mathbf{v}_2 \) - направляющие векторы прямых.

В данном случае, \( \mathbf{r}_1 = (0, 0, 5\sqrt{3}) \), \( \mathbf{v}_1 = (a, b, 5\sqrt{3}) \), \( \mathbf{r}_2 = (0, a, 5\sqrt{3}) \), \( \mathbf{v}_2 = (a, 1, 5\sqrt{3}) \).

Теперь вычислим расстояние:

\[ \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 = (0, a, 0) - (0, 0, 5\sqrt{3}) = (0, a, -5\sqrt{3}) \]

\[ \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & b & 5\sqrt{3} \\ a & 1 & 5\sqrt{3} \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель:

\[ \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = (b \cdot 5\sqrt{3} - 1 \cdot 5\sqrt{3}, -(a \cdot 5\sqrt{3} - a \cdot 5\sqrt{3}), a \cdot 1 - a \cdot b) \]

\[ \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = (4\sqrt{3}, 0, a(1 - b)) \]

Теперь подставим все в формулу для расстояния:

\[ d = \frac{|(0, a, -5\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}, 0, a(1 - b))|}{|(4\sqrt{3}, 0, a(1 - b))|} \]

\[ d = \frac{|-5\sqrt{3} \cdot a \cdot a(1 - b)|}{\sqrt{