Question

Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCD, якщо А(2; -6; 0), B(-4; 8; 2), D(0; -12; 0). Найдите длину диагонали АС параллелограмма ABCD, если А(2; -6; 0), B(-4; 8; 2), D(0; -12; 0).

Answer 1

Проекции ВС на оси х,у и z равны соответствующим проекциям AD

BCx = ADx = 0 - 2 = - 2; BCy = ADy = -12 + 6  = - 6; BCz = ADz = 0 - 0 = 0

Координаты точки С равны

xC = xB + BCx = - 4 - 2 = - 6; yC = yB + BCy = 8 - 6 = 2;

zC = zB + BCz = 2 + 0 = 2

Проекции диагонали АС на координатные оси равны

ACx = xC - xA = - 6 - 2 = - 8; ACy = yC - yA = 2 + 6 = 8;

ACz = zC - zA = 2 - 0 = 2;

Длина диагонали АС равна

АС = √(ACx² + ACy² + ACz²) = √((-8)² + 8² + 2²) = √132 = 8√2

Answer 2

Для нахождения длины диагонали AC параллелограмма ABCD воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Длина диагонали AC (пусть это будет вектор AC) можно найти как разность векторов AB и AD:

\[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) \]

где \( \vec{A} = (x_A, y_A, z_A) \), \( \vec{C} = (x_C, y_C, z_C) \).

Теперь найдем длину вектора AC:

\[ |\vec{AC}| = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2} \]

В данном случае:

\[ |\vec{AC}| = \sqrt{(0 - 2)^2 + (-12 - (-6))^2 + (0 - 0)^2} \]

\[ |\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-6)^2} \]

\[ |\vec{AC}| = \sqrt{16 + 36} \]

\[ |\vec{AC}| = \sqrt{52} \]

\[ |\vec{AC}| = 2\sqrt{13} \]

Таким образом, длина диагонали AC параллелограмма ABCD равна \( 2\sqrt{13} \).