Question

Периметр треугольника равен 140, одна из сторон равна 56, а радиус написанной в него окружности равен 9. Найдите площадь этого треугольника.

Answer 1

Радиус вписанной окружности равен отношению площади описанного треугольника к его полупериметру (S\p).
р=56/2=28
S=r*p=9*28=252 (ед²)

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой Герона для нахождения площади треугольника по его сторонам. Формула Герона выглядит следующим образом:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

где S - площадь треугольника, а, b и c - длины сторон треугольника, а p - полупериметр треугольника, который вычисляется как:

p = (a + b + c) / 2

В данной задаче у нас даны следующие данные: Периметр треугольника равен 140 Одна из сторон равна 56 Радиус вписанной в него окружности равен 9

Мы можем найти длины оставшихся двух сторон треугольника, используя радиус вписанной окружности. Для этого, мы можем воспользоваться следующей формулой:

r = S / p

где r - радиус вписанной окружности, S - площадь треугольника и p - полупериметр треугольника.

Мы уже знаем радиус вписанной окружности (9), поэтому мы можем выразить площадь треугольника через полупериметр:

S = r * p

Теперь у нас есть формула для вычисления площади треугольника. Давайте воспользуемся этими формулами, чтобы решить задачу.

Решение:

1. Найдем полупериметр треугольника: p = 140 / 2 = 70 2. Найдем длины оставшихся двух сторон треугольника. Давайте обозначим их как a и b. a + b + 56 = 140 a + b = 84 3. Воспользуемся формулой радиуса вписанной окружности: r = 9 S = r * p = 9 * 70 = 630 4. Найдем площадь треугольника по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) Подставим известные значения: 630 = √(70(70-a)(70-b)(70-c)) Так как одна из сторон треугольника равна 56, то можем записать: 630 = √(70(70-56)(70-b)(70-c)) 630 = √(70*14*(70-b)(70-c)) 630 = √(13720(70-b)(70-c)) 630 = √(13720(4900-70b-70c+b*c)) Так как площадь треугольника положительна, то мы можем игнорировать отрицательные значения под корнем. Также, заметим, что треугольник имеет две симметричные стороны. Поэтому можно предположить, что b = c. 630 = √(13720(4900-70b-70b+b*b)) 630 = √(13720(4900-140b+b^2)) 630 = √(13720*b^2-193600*b+67880000) Возведем обе части уравнения в квадрат: 630^2 = 13720*b^2-193600*b+67880000 396900 = 13720*b^2-193600*b+67880000 13720*b^2-193600*b+67483100 = 0 Решим полученное квадратное уравнение: b = (-(-193600) ± √((-193600)^2 - 4*13720*67483100)) / (2*13720) b = (193600 ± √(37480960000 - 37138409600)) / 27440 b = (193600 ± √(342450400)) / 27440 b = (193600 ± 18500) / 27440 Так как b является длиной стороны треугольника, то b не может быть отрицательным и должно быть меньше, чем 84 (56 + 28). Значит, мы можем выбрать только положительное значение: b = (193600 + 18500) / 27440 = 212100 / 27440 ≈ 7.73 5. Теперь у нас есть значения для сторон треугольника: a = 56, b ≈ 7.73, c ≈ 7.73. Мы можем воспользоваться формулой Герона, чтобы найти площадь треугольника: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) S = √(70(70-56)(70-7.73)(70-7.73)) S ≈ √(70 * 14 * 62.27 * 62.27) S ≈ √(615562.584) S ≈ 784.44

Ответ: Площадь треугольника составляет примерно 784.44 квадратных единиц.