Question

1. В окружности с центром в точке О проведены хорды АС и ВЕ, так что ∠AOB=∠COE. Докажите: а) АС=ВЕ; б) АЕ – диаметр окружности. 2.△ABC△ABC равнобедренный (ВС=АС). Точка D взята внутри треугольника так, что ВD=AD, ∠ADB=120°, ∠A=60°. Найдите ∠BDC и ∠DAC. ПОЖАЛУЙСТА , ЭТО СРОЧНО , ЗАВТРА КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ГЕОМЕТРИИ !!!

Answer 1

1 задача. 

Для начала построим прямую AD. Заметим, что 1/2 дуги CD равна углу CAD(вписанный угол), аналогично 1/2 дуги AB равна угла BDA. Теперь рассмотрим тругольник PAD   и внешний угол BPA,который равен сумме углов CAD и BDA(свойство внешнего угла).. Тоесть угол BPA равен 1/2(дуга AB + дуга CD).

Теперь достроим треугольники BOA  и COD. видно что 1/2 дуги AB равна углу BOA,а 1/2 дуги CD равна угла COD. Но следуя из выше докаженного(первый абзац) сделаем вывод что 

угол BPA= 1/2(дуга AB + дуга CD). = угол BOA+ угол COD


2 задача . Не знаю(

Answer 2

1. а) Поскольку ∠AOB=∠COE, то эти углы соответственные и опираются на равные дуги. Так как хорды АС и ВЕ пересекаются в точке О, то дуги АС и ВЕ равны между собой. Из равенства дуг следует, что длины хорд АС и ВЕ также равны между собой, то есть АС=ВЕ.

б) Поскольку ∠AOB=∠COE, то эти углы соответственные. Также, угол в полной окружности равен 180°. Значит, ∠AOB+∠BOC=180°. Из этого следует, что ∠BOC=180°-∠AOB. Но ∠AOB=∠COE, поэтому ∠BOC=180°-∠COE. Так как угол в полной окружности равен 180°, то ∠BOC и ∠COE являются смежными и их сумма равна 180°. Таким образом, ∠BOC=∠COE=90°. Если ∠BOC=∠COE=90°, то хорда ВЕ является диаметром окружности.

2. Так как треугольник ABC равнобедренный, то ВС=АС. Также, поскольку ∠ADB=120°, то ∠BDA=180°-120°=60°. Значит, треугольник ABD равносторонний. Следовательно, BD=AD. Но ВD=AD, поэтому BD=ВD.

Таким образом, треугольник BDC также равносторонний, и все его углы равны 60°. Значит, ∠BDC=∠BCD=∠CBD=60°.

Также, поскольку ∠A=60°, то треугольник ABD также равносторонний, и все его углы равны 60°. Значит, ∠DAC=∠DCA=∠CDA=60°.

Таким образом, ∠BDC=∠BCD=∠CBD=60° и ∠DAC=∠DCA=∠CDA=60°.

Answer 3

Task 1: Окружность с центром в точке О и хорды АС и ВЕ, так что ∠AOB=∠COE.

а) Докажите, что АС=ВЕ. б) Докажите, что АЕ – диаметр окружности.

To prove that AC = BE, we can use the fact that the angles ∠AOB and ∠COE are equal.

Let's start with part a) - proving that AC = BE.

# Proof of part a):

1. In a circle, the angle subtended by an arc at the center is twice the angle subtended by the same arc at any point on the circumference. 2. Since ∠AOB = ∠COE, the arcs AB and CE are equal. 3. By the definition of a chord, the length of a chord is proportional to the measure of the arc it subtends. 4. Therefore, AB = CE. 5. Since AC is the sum of AB and BC, and BE is the sum of CE and EC, and AB = CE, it follows that AC = BE.

Therefore, we have proved that AC = BE.

# Proof of part b):

To prove that AE is the diameter of the circle, we need to show that ∠AEO is a right angle.

1. Since AC = BE (proved in part a), we can conclude that triangle AOC is congruent to triangle BEO by the Side-Angle-Side (SAS) congruence criterion. 2. Therefore, ∠AOC = ∠BOE. 3. Since ∠AOB = ∠COE (given), it follows that ∠AOC = ∠BOE = ∠AOB = ∠COE. 4. The angles ∠AOC and ∠BOE are vertical angles, and vertical angles are congruent. 5. Therefore, ∠AOC = ∠BOE implies that ∠AEO is a right angle. 6. By definition, a diameter of a circle passes through the center and forms a right angle with any chord that it intersects. 7. Therefore, AE is the diameter of the circle.

Hence, we have proved that AE is the diameter of the circle.

Task 2: △ABC is an isosceles triangle (BC = AC). Point D is taken inside the triangle such that BD = AD, ∠ADB = 120°, and ∠A = 60°. Find ∠BDC and ∠DAC.

To find ∠BDC and ∠DAC, we can use the given information and the properties of triangles.

Let's start by finding ∠BDC:

1. Since ∠ADB = 120° and ∠A = 60°, it follows that ∠BDA = 180° - ∠ADB - ∠A = 180° - 120° - 60° = 0°. 2. Since BD = AD, triangle BDA is an isosceles triangle. 3. In an isosceles triangle, the angles opposite the equal sides are equal. 4. Therefore, ∠BDA = ∠BAD. 5. Since ∠BDA = 0°, it follows that ∠BAD = 0°. 6. The sum of the angles in a triangle is 180°. 7. Therefore, ∠BDA + ∠BAD + ∠ADB = 180°. 8. Substituting the known values, we have 0° + 0° + 120° = 180°. 9. Simplifying, we find that ∠BDC = 60°.

Now, let's find ∠DAC:

1. In an isosceles triangle, the angles opposite the equal sides are equal. 2. Since BC = AC, triangle ABC is an isosceles triangle. 3. Therefore, ∠ACB = ∠ABC. 4. Since ∠A = 60°, it follows that ∠ACB = ∠ABC = 60°. 5. The sum of the angles in a triangle is 180°. 6. Therefore, ∠ACB + ∠ABC + ∠BAC = 180°. 7. Substituting the known values, we have 60° + 60° + ∠BAC = 180°. 8. Simplifying, we find that ∠BAC = 60°.

Therefore, we have found that ∠BDC = 60° and ∠DAC = 60°.

Good luck with your geometry test!