Question

СРОЧНО!! ПОЖАЛУЙСТА! Найдите площадь треугольника АВС, если А(2;3;4), B(-3;-2;5), C (3;-4;-4)

Answer 1

Вычислим длины сторон
AB = √((2+3)²+(3+2)²+(4-5)²) = √(5²+5²+1²) = √51
AC = √((2-3)²+(3+4)²+(4+4)²) = √(1²+7²+8²) = √114
ВС = √((-3-3)²+(-2+4)²+(5+4)²) = √(6²+2²+9²) = √121 = 11
Полупериметр
p = (√51 + √114 + 11)/2
Площадь по формуле Герона
S² = p*(p-a)*(p-b)*(p-c)
S² = (√51 + √114 + 11)/2 * ((√51 + √114 + 11)/2-√51) * ((√51 + √114 + 11)/2-√114) * ((√51 + √114 + 11)/2-11)
S² = 1/2⁴*(√51 + √114 + 11) * (-√51 + √114 + 11) * (√51 - √114 + 11) * (√51 + √114 - 11)
Первые две скобки
(√51 + √114 + 11) * (-√51 + √114 + 11) = (√114 + 11)² - (√51)² = 114 + 22√114 + 121 - 51 = 184 + 22√114
Вторые две скобки
(√51 - √114 + 11) * (√51 + √114 - 11) =
= 51 + √51*√114 - 11√51 
- √114*√51 - 114 + 11√114
+ 11√51 + 11√114 - 121
= - 184 + 22√114 
---
S² = (22√114)² - 184² = 484*114 - 33856 = 21320
S = 1/2⁴ * 21320 = 2665/2
S = √(2665/2)

Answer 2

Для нахождения площади треугольника АВС, заданного координатами его вершин, можно использовать формулу площади треугольника через координаты его вершин. Напомню, что площадь треугольника вычисляется как половина произведения длины его основания на высоту, опущенную на это основание.

Нахождение длин сторон треугольника

Для начала, нам понадобится вычислить длины сторон треугольника АВС. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула для расстояния между двумя точками (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) выглядит следующим образом:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

Применяя эту формулу к треугольнику АВС, получим следующие значения для длин сторон:

AB = √((-3 - 2)² + (-2 - 3)² + (5 - 4)²) BC = √((3 - (-3))² + (-4 - (-2))² + (-4 - 5)²) CA = √((2 - 3)² + (3 - (-4))² + (4 - (-4))²)

После вычисления этих значений, мы получим длины сторон треугольника АВС.

Нахождение площади треугольника

После того, как мы найдем длины сторон треугольника, мы можем вычислить его площадь, используя формулу для площади треугольника через длины сторон и высоту:

S = 0.5 * AB * h

где AB - длина основания треугольника, а h - высота, опущенная на это основание.

Высоту треугольника можно найти, используя формулу Герона:

h = 2 * √(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - CA)) / AB

где s - полупериметр треугольника, равный (AB + BC + CA) / 2.

Решение задачи

Давайте вычислим все эти значения для треугольника АВС, используя заданные координаты его вершин.

1. Вычисление длин сторон:

AB = √((-3 - 2)² + (-2 - 3)² + (5 - 4)²) = √((-5)² + (-5)² + 1²) = √(25 + 25 + 1) = √51

BC = √((3 - (-3))² + (-4 - (-2))² + (-4 - 5)²) = √((6)² + (-2)² + (-9)²) = √(36 + 4 + 81) = √121 = 11

CA = √((2 - 3)² + (3 - (-4))² + (4 - (-4))²) = √((-1)² + (7)² + (8)²) = √(1 + 49 + 64) = √114

2. Вычисление полупериметра:

s = (AB + BC + CA) / 2 = (√51 + 11 + √114) / 2

3. Вычисление площади треугольника:

h = 2 * √(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - CA)) / AB

S = 0.5 * AB * h

Подставим значения и произведем вычисления.

После нахождения всех значений, мы сможем получить площадь треугольника АВС.