Question

В параллелограмме ABCD перпиндикуляр, опусщенный из вершины В на сторону AD делить её пополам. Периметр параллеограмма равен 3,8м, а периметр треугольника ABD-3 м. Найдите диагональ BD и стороны пареллелограмма.

Answer 1

Перпиндикуляр, опущенный из вершины В на сторону AD - это высота ВН.
Периметр параллелограмма равен 2(АВ+AD)=3,8м, значит АВ+AD=1,9м
Периметр треугольника ABD равен АВ+AD+BD=3м. Отсюда BD= 3-1,9 = 1,1м.
По Пифагору из треугольников АВН и DBH соответственно ВН²=АВ²-АН² и ВН²=BD²-DH². Но AH=DH. Тогда AB²-АН²=BD²-DH², то есть AB=BD=1,1м
Тогда AD = 1,9-1,1=0,8м  Итак:
диагональ BD=1,1м АВ=CD=1,1м AD=BC=0,8м.

Answer 2

Пусть точка E - середина стороны AD. Тогда из условия задачи следует, что BE - высота параллелограмма, а также BE = DE.

Пусть стороны параллелограмма равны a и b, а диагональ BD - c.

Так как BE = DE, то треугольник BDE равнобедренный. Значит, BD - медиана треугольника BDE.

Известно, что периметр треугольника ABD равен 3 м, а периметр параллелограмма ABCD равен 3,8 м.

Периметр треугольника ABD равен сумме длин его сторон: AB + BD + AD = 3 м.

Периметр параллелограмма ABCD равен удвоенной сумме длин его сторон: AB + BC + CD + DA = 3,8 м.

Из этих двух уравнений можно составить систему:

AB + BD + AD = 3,

AB + BC + CD + DA = 3,8.

Так как AD = BC (поскольку AD || BC), то систему можно переписать в виде:

AB + BD + BC = 3,

2AB + 2BC = 3,8.

Из первого уравнения получаем, что AB + BD = 3 - BC.

Подставляем это выражение во второе уравнение:

2(3 - BC) + 2BC = 3,8,

6 - 2BC + 2BC = 3,8,

6 = 3,8.

Получаем противоречие. Уравнение 6 = 3,8 не имеет решений.

Значит, данная система уравнений не имеет решений.

Следовательно, задача некорректно поставлена.