Question

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена высота СД. Найдите углы треугольника АВС, если известно, чтоплощадь треугольника ДВС в 3 раза больше площади треугольника АДС.

Answer 1

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных друг другу и подобных исходному .
Площади подобных треугольников относятся, как квадраты их линейных размеров.
Итак, имеем: тр-к DBC подобен тр-ку DCA, откуда ВС/СА = к.
Sdbc/Sacd = 3/1 = k², то есть ВС/СА = √3/1 =  √3 = 1,732.
Но ВС/СА = tgA. Значит <А = 60°, а <В = 30°

Answer 2

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся условием, что площадь треугольника ДВС в 3 раза больше площади треугольника АДС. Пусть площадь треугольника АДС равна S, тогда площадь треугольника ДВС будет равна 3S.

Так как высота СД является перпендикуляром к гипотенузе АВ, то треугольники АДС и СДА подобны. Следовательно, отношение высот этих треугольников будет равно отношению их гипотенуз:

SD / AD = AD / DS

Так как гипотенуза АВ является общей стороной в этих треугольниках, то гипотенуза АВ будет равна сумме соответствующих отрезков:

AD + DS = AV

Подставим известные значения в уравнение:

SD / AD = AD / DS SD / AD = AV / (AD + DS)

Заметим, что AD + DS = AV, поэтому:

SD / AD = 1

Из этого следует, что треугольники ДВС и АДС являются равнобедренными, так как у них равны соответствующие стороны.

Теперь рассмотрим углы треугольника АВС. Пусть угол А равен α, угол В равен β, а угол С равен γ.

Угол СДА равен углу, противолежащему стороне ДС. Так как треугольники ДВС и АДС равнобедренные, то угол СДА равен углу А, то есть α.

Угол ВСА равен углу, противолежащему стороне СА. Так как треугольники ДВС и АДС равнобедренные, то угол ВСА также равен углу А, то есть α.

Таким образом, угол АВС равен сумме углов СДА и ВСА, то есть:

угол АВС = угол СДА + угол ВСА = α + α = 2α

Аналогично, угол ВАС равен сумме углов ДСА и ВСА, то есть:

угол ВАС = угол ДСА + угол ВСА = α + α = 2α

Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому:

угол АВС + угол ВАС + угол ВСА = 180

2α + 2α + α = 180

5α = 180

α = 36

Таким образом, угол АВС равен 2α = 2 * 36 = 72 градуса, угол ВАС равен 2α = 2 * 36 = 72 градуса, и угол ВСА равен α = 36 градусов.

Ответ: угол АВС равен 72 градуса, угол ВАС равен 72 градуса, и угол ВСА равен 36 градусов.