Question

В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1 : 2 , меньшая его сторона равна 5 см. Найдите диагонали данного прямоугольника!

Answer 1

Т.к. диагональ делит угол в отношении 1 к 2, то это углы 60 и 30 градусов, проведя диагональ мы получаем прямоугольный треугольник, с катетом, который лежит напротив угла в 30 градусов, а т.к. катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы ( в нашем случае диагонали), то диагональ равна длине меньшей стороны умноженной на 2, то есть 5*2=10 см, в прямоугольнике диагонали равны значит и та, и та диагональ равна 10 см.
Добра вам :3

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \), где \( a \) - меньшая сторона, \( b \) - большая сторона.

Условие задачи утверждает, что диагональ прямоугольника делит угол в отношении 1:2. Это означает, что угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника составляет 30 градусов (1 часть) и 60 градусов (2 часть).

Теперь мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника. Возьмем половину диагонали (половину, потому что угол делится на 1:2) и применим тригонометрический закон синусов:

\[ \sin(30^\circ) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{a}{\frac{d}{2}} \]

Где \( d \) - длина диагонали.

Отсюда можно выразить \( d \):

\[ d = \frac{2a}{\sin(30^\circ)} \]

Теперь, учитывая, что \( a = 5 \) см и \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), подставим значения:

\[ d = \frac{2 \times 5}{\frac{1}{2}} = 20 \, \text{см} \]

Таким образом, длина диагонали прямоугольника равна 20 см.

Теперь у нас есть длина диагонали. Мы знаем, что угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника равен 30 градусов. Теперь мы можем использовать тригонометрический косинус для нахождения большей стороны:

\[ \cos(30^\circ) = \frac{{\text{{прилегающий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{b}{d} \]

Где \( b \) - большая сторона.

Отсюда можно выразить \( b \):

\[ b = d \cdot \cos(30^\circ) \]

Подставим значения:

\[ b = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17.32 \, \text{см} \]

Таким образом, длина большей стороны прямоугольника примерно равна 17.32 см. Итак, длина диагоналей прямоугольника равна 20 см и 17.32 см.