Question

Через сторону АС треугольника АВС проведена плоскость альфа.В не принадлежит альфа.Докажите,что прямая, проходящая через середины сторон АВ и ВС ,параллельна плоскости альфа

Answer 1

АС - сторона треугольника и  лежит  в плоскости α. 

МК, соединяющая середины сторон АВ и СВ треугольника, – его средняя линия и параллельна АС. 

Если прямая (МК), не лежащая в данной плоскости (α ) , параллельна какой-нибудь прямой (АС), лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. ⇒ 

МК параллельна плоскости α.

Answer 2

Для доказательства того, что прямая, проходящая через середины сторон AB и BC треугольника ABC, параллельна плоскости альфа, мы можем использовать свойство параллельности сторон треугольника и свойство серединных перпендикуляров.

Свойство параллельности сторон треугольника:

Если прямая параллельна одной стороне треугольника, то она параллельна и остальным сторонам.

Свойство серединных перпендикуляров:

Серединный перпендикуляр к отрезку является прямой, перпендикулярной этому отрезку и проходящей через его середину.

Давайте рассмотрим треугольник ABC и прямую, проходящую через середины сторон AB и BC. Обозначим середины этих сторон как M и N соответственно.

Так как прямая проходит через середины сторон AB и BC, она делит каждую из этих сторон на две равные части. Таким образом, AM = MB и BN = NC.

Теперь рассмотрим плоскость альфа. По условию, точка A не принадлежит плоскости альфа.

Доказательство:

Предположим противное, что прямая MN не параллельна плоскости альфа. Тогда она пересекает плоскость альфа в некоторой точке P.

Поскольку прямая MN проходит через середины сторон AB и BC, она также делит каждую из этих сторон на две равные части. Таким образом, AM = MB и BN = NC.

Так как прямая MN пересекает плоскость альфа в точке P, то прямая MN не параллельна плоскости альфа, и, следовательно, не параллельна стороне AC треугольника ABC.

Опровержение:

Но это противоречит свойству параллельности сторон треугольника. Мы знаем, что AM = MB и BN = NC. Если прямая MN не параллельна стороне AC, то она не будет делить сторону AB и BC на равные части, что противоречит нашему предположению.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и наше предположение о том, что прямая MN не параллельна плоскости альфа, неверно. Значит, прямая, проходящая через середины сторон AB и BC треугольника ABC, параллельна плоскости альфа.