Question

сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см,а двугранный угол при основания равен 45 градусов Найдите: а) площадь поверхности пирамиды б) расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани.

Answer 1

А) Пусть Н - середина ВС, тогда АН - медиана и высота правильного треугольника АВС, SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SBC.
Тогда ∠SHO = 45° - линейный угол двугранного угла при ребре основания.

Sпов = Sосн + Sбок
Sосн = а²√3 /4, где а - сторона основания.
Sосн = 3² · √3 / 4 = 9√3/4 см²

Высота основания:
АН = а√3/2 = 3√3/2 см
ОН = 1/3 АН = √3/2 см
ΔSOH: ∠SOH = 90°, cos ∠SHO = OH / SH
             SH = OH / cos∠SHO = √3/2 / (√2/2) = √3/√2 = √6/2 см
Sбок = 1/2Pосн · SH.
Sбок = 1/2 · 3 · 3 · √6/2 = 9√6/4 см²
Sпов = 9√3/4 + 9√6 / 4 = 9√3/4 (1 + √2) см²

б).
В ΔSAH проведем АК⊥SH.
Проекция АК на плоскость основания лежит на АН, значит перпендикулярна ВС, тогда и АК⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах;
АК⊥SH по построению, значит АК перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости SBC, значит АК⊥SBC.
Т.е. АК - искомое расстояние от вершины А до противолежащей боковой грани.
ΔАКН: ∠АКН = 90°, sin∠AHK = AK/AH
             AK = AH · sin∠AHK = 3√3/2 · √2/2 = 3√6/4 см

Answer 2

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся формулами для площади поверхности пирамиды и расстояния от вершины до противоположной боковой грани.

a) Площадь поверхности пирамиды:

Площадь поверхности пирамиды можно найти, используя формулу:

S = S_основания + S_боковой_поверхности,

где S_основания - площадь основания пирамиды, а S_боковой_поверхности - площадь боковой поверхности пирамиды.

Для нахождения площади основания треугольной пирамиды, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника:

S_основания = (a^2 * √3) / 4,

где a - сторона основания треугольной пирамиды