Question

Найдите неизвестные углы а)вписанного четыреугольника если два из них° равен 46° и 125° б)вписанной трапеций если один из них равен 80° в)вписанного четырехугольника диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. полное решение пожалуйста!

Answer 1

А) В вписанном четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180°.
Предположим, что заданные два угла являются противоположными.
Тогда 46° + 125° = 180°.
Но 46° + 125° = 171° => противоположными они не являются.
Тогда два других угла равны:
180° - 46° = 134°
180° - 125° = 65°

б) В трапеции сумма односторонних углов равна 180°. Тогда угол, односторонний с углом в 80°, равен 180° - 80° = 100°.
Угол, который противоположный с углом в 100°, равен 180° - 100° = 80° и угол, односторонний с данным, равен 100°
Ответ: 80°, 100°. 100°

в) Т.к. диагонали точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник - параллелограмм. Но т.к. ещё и сумма противоположных углов равна 180°, то данный четырехугольник - прямоугольник. Тогда все его углы равны по 90°.

Answer 2

Решение:

а) Пусть углы вписанного четырехугольника равны a, b, c и d. Из условия задачи известно, что два из углов равны 46° и 125°. Также, из свойств вписанного четырехугольника, сумма противолежащих углов равна 180°.

Получаем систему уравнений: a + b = 180° c + d = 180° a + c = 46° b + d = 125°

Решим эту систему уравнений. Вычтем из первого уравнения второе, а из третьего уравнения четвертое: (a + b) - (c + d) = 0 (a + c) - (b + d) = -79°

Упростим: a + b - c - d = 0 a + c - b - d = -79°

Сложим полученные уравнения: 2a - 2d = -79°

Разделим обе части на 2: a - d = -39.5°

Теперь выразим a через d: a = d - 39.5°

Подставим это значение в одно из исходных уравнений, например, в a + c = 46°: (d - 39.5°) + c = 46°

Теперь решим это уравнение относительно c: c = 46° - d + 39.5° c = 85.5° - d

Аналогично, решим уравнение b + d = 125° относительно b: b = 125° - d

Таким образом, углы вписанного четырехугольника будут следующими: a = d - 39.5° b = 125° - d c = 85.5° - d d - известный угол (46° или 125°)

б) Пусть углы вписанной трапеции равны a, b, c и d. Из условия задачи известно, что один из углов равен 80°. Также, из свойств вписанной трапеции, сумма противолежащих углов равна 180°.

Получаем систему уравнений: a + b = 180° c + d = 180° a + c = 80° b + d = 100°

Решим эту систему уравнений. Вычтем из первого уравнения второе, а из третьего уравнения четвертое: (a + b) - (c + d) = 0 (a + c) - (b + d) = -20°

Упростим: a + b - c - d = 0 a + c - b - d = -20°

Сложим полученные уравнения: 2a - 2d = -20°

Разделим обе части на 2: a - d = -10°

Теперь выразим a через d: a = d - 10°

Подставим это значение в одно из исходных уравнений, например, в a + c = 80°: (d - 10°) + c = 80°

Теперь решим это уравнение относительно c: c = 80° - d + 10° c = 90° - d

Аналогично, решим уравнение b + d = 100° относительно b: b = 100° - d

Таким образом, углы вписанной трапеции будут следующими: a = d - 10° b = 100° - d c = 90° - d d - известный угол (80°)

в) Пусть углы вписанного четырехугольника равны a, b, c и d. Из условия задачи известно, что диагонали пересекаются в точке, делящей их пополам. Это означает, что противолежащие углы равны.

Получаем систему уравнений: a + b = 180° c + d = 180° a = b c = d

Решим эту систему уравнений. Подставим a = b и c = d в первые два уравнения: a + a = 180° c + c = 180°

Упростим: 2a = 180° 2c = 180°

Разделим обе части на 2: a = 90° c = 90°

Таким образом, углы вписанного четырехугольника будут следующими: a = 90° b = 90° c = 90° d = 90°

Получаем ответ: a) Углы вписанного четырехугольника будут зависеть от известного угла (46° или 125°) и выражаться следующим образом: a = d - 39.5° b = 125° - d c = 85.5° - d d - известный угол (46° или 125°)

б) Углы вписанной трапеции будут зависеть от известного угла (80°) и выражаться следующим образом: a = d - 10° b = 100° - d c = 90° - d d - известный угол (80°)

в) Углы вписанного четырехугольника, диагонали которого делятся пополам, будут равны: a = 90° b = 90° c = 90° d = 90°