Question

Дан треугольник АВС с площадью 30 см^2. На стороне ВС взята точка Е, на стороне АС взята точка Р так, что BE : ЕС = 2 : 3, АР : PC = 1 : 2. Найдите площадь четырехугольника АВЕР.

Answer 1

task/24843601
---. ---. ---.---. ---
S(ABEP) = S(ABE) + S(APE) 
S(ABE)/S(ABC) = BE / BC =2/5⇒ S(ABE)=(2/5)*S(ABC) =(2/5)*30 =12 (см²) .
S(AEC) / S(ABC)=CE/BC= 3/5 ⇒ S(AEC) =(3/5)*S(ABC) .
* * * или   S(AEC) = S(ABC) - S(ABE) = 30 -12 =18  (см²) * * *
S(APE)/S(AEC) = AP/ AC =1/3 ⇒S(APE) =(1/3)*S(AEC) =
(1/3)*(3/5)*S(ABC)= (1/5)*S(ABC) =(1/5)*30 = 6 (см²) .
Следовательно 
S(ADEP) = S(ABE) +S(APE)  =12 см² +6 см² =18 см² .

ответ : 18 см².
рисунок см приложения 

Answer 2

Рассмотри два случая: угол C - прямой и непрямой (острый или тупой).
I. ∠С - прямой
$S_{\Delta ABC}= \frac{1}{2} AC*BC=30\\ S_{\Delta PEC}= \frac{1}{2} PC*EC=30\\ PC= \frac{2}{3} AC \ EC= \frac{3}{5} BC\\ S_{\Delta PEC}= \frac{1}{2}*\frac{2}{3} AC*\frac{3}{5} BC= \frac{2}{5} S_{\Delta ABC}=0,4*30=12\\ S_{ABEP}=S_{\Delta ABC}-S_{\Delta PEC}=30-12=18$  
II. ∠C - острый или тупой
$S_{\Delta ABC}= \frac{1}{2} AH*BC=30\\ S_{\Delta PEC}= \frac{1}{2} PF*EC$
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки( следствие из теоремы Фалеса), то есть
$PF= \frac{2}{3} AH$
Тогда
$S_{\Delta PEC}= \frac{1}{2} PF*EC= \frac{1}{2} * \frac{2}{3} AH* \frac{3}{5} BC= \frac{2}{5}S_{\Delta ABC}=0,4*30=12\\ S_{ABEP}=S_{\Delta ABC}-S_{\Delta PEC}=30-12=18$

Ответ: 18 см²