Question

В угол JVF вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках J и F. Через произвольную точку Q меньшей дуги JF проведена касательная, пересекающая стороны угла в точках P и R. Чему равен cos(∠JZF), где Z — центр окружности, если периметр треугольника RVP равен 2, а радиус окружности равен √3?

Answer 1

JV=VF как касательные.
Так же PJ=PQ и RQ=RF.
P(RVP)=VP+PQ+VR+RQ=VP+PJ+VR+RF=JV+VF ⇒ JV=P(RVP)/2=1.
В прямоугольном тр-ке ZJV VZ²=JV²+JZ²=1+3=4,
VZ=2.
cos∠VZJ=JZ/VZ=√3/2,
∠VZJ=30°.
∠JZF=2∠VZJ=60°,
cos∠JZF=cos60=1/2 - это ответ.