Question

5**. Разность между радиусами окружностей, одна из которых описана около правиль­ного треугольника, а вторая — вписана, равна т. Определить стороны этого тре­угольника.

Answer 1

Проведем в треугольнике ABC высоты(также они будут являться медианами и биссектрисами, поскольку ΔАВС - правильный) AH. BK, точку пересечения высот назовем О.

Тогда AO=ОК=R - радиусы описанной окружности

OH =OK = R1 - радиусы вписанной окружности

ΔAOK - прямоугольный(угол К=90), т.к AH также является биссектрисой, то угол OAK = 30 градусов ==> R = 2R1

По условию задачи  R-R1 = t ==> R1=t, R=2t

По теореме пифагора найдем AK

AK^2 = R^2 - R1^2 = 4t^2 - t^2      ==>   AK = t*корень из трех,

AC=2*AK = 2t*корень из 3