Question

Докажите, что если ABCD - прямоугольник, то для любой точки О плоскости выполняется равенство AO^2+CO^2=BO^2+DO^2

Answer 1

Будем считать, что стороны прямоугольника равны a и b. Введём систему координат - пусть вершина A прямоугольника имеет координаты (0;0), точка B (0;b), точка C (a;b), точка D(a;0). Координаты точки O равны (x;y) для некоторых действительных x,y. Тогда:
$AO^{2} = x^{2} + y^{2} , BO^{2}= x^{2} +(y-b)^{2}, \\ CO^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}, DO^2=(x-a)^{2}+y^{2} \\ AO^{2}+CO^{2}=x^2+y^{2}+(x-a)^{2}+(y-b)^{2} \\ BO^{2}+DO^{2}=x^2+(y-b)^{2}+(x-a)^{2}+y^{2}$
То есть, AO²+CO²=BO²+DO² при любых x и y, что и требовалось доказать.