Question

Пирамида прямоугольного треугольника с острым углом альфа.Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости .Основание под углом бэта.Найдите объем пирамиды если расстояние от основания ее высоты до бокового ребра равно М.Ответ 1/3*М3 синус2 альфа ___________________ синус2 бэта* косинус бэта.

Answer 1

Пусть ABCS - данная трегольная пирамида, ее основание прямоугольный треугольник ABC с прмямы углом С, ее высота SK

угол ABC=альфа

угол KCS=угол KAS=угол KBS=бэта

G-основание высоты KG, проведенной к СS

Тогда KG=М

Основание высоты - центр описанной окружности(середина гипотенузы)

Радиус описаной окружности равен R=KG\sin (KCG)=

M\sin(KCS)=M\(sin бэта)

Высота пирамиды равна R*tg (KCG)=M\(sin бэта)*tg бєта=

=M*cos бэта

Гипотенуза равна =2*радиус описанной окружности

Гипотенуза AB=2*m\(sin бэта)

Катет BC=AB*cos (ABC)=2*M\(sin бэта)*cos альфа

Катет AC=AB*sin (ABC)=2*M\(sin бэта)*sin альфа

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов

S=1\2*BC*AC=1\2*2*M\(sin бэта)*cos альфа*2*M\(sin бэта)*sin альфа=

M^2\(sin^2  бэта)*sin 2альфа

Обьем пирамиды 1\3*площадь основания(площадь равнобедренного треугольника)*высота

обьем пирамиды равен 1\3*M^2\(sin^2  бэта)*sin 2альфа*M*cos бэта=

M^3\3*sin 2альфа\(sin^2  бэта*cos бэта)

Ответ:M^3\3*sin 2альфа\(sin^2  бэта*cos бэта)

p/s/ вроде так