Question

Проведите сечение правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, содержащей вершину D1 и середины ребер AB и BC. Вычислите его периметр и площадь, если высота призмы равна 14 см, сторона основания - 16 см.

Answer 1

Пусть отрезок, соединяющий середины ребер AB и BC, это ЕК, его середина - точка О.

В сечении - пятиугольник КРД1МЕ, симметричный отрезку Д1О.
Точки Р и М - это точки пересечения секущей плоскостью рёбер СС1 и АА1.
Диагональ ВД основания равна 16√2. Отрезок ЕК пересекает её на расстоянии 1/4 длины от точки В, то есть ОД = 16√2 - (16√2/4) = 12√2.
Длина ОД1 = √((12√2)²+14²) = √(288+196) = √484 = 22.

Точки пересечения секущей плоскости с рёбрами АА1 и СС1 находим так:
- отрезок ЕК продлить до пересечения с продолжением рёбер АД и   ДС (это точки А2 и С2),
- в эти точки провести прямые из вершины Д1,
- точки пересечения последних прямых с рёбрами АА1 и СС1 и есть точки 
  М и Р.
Расстояние х по вертикали от основания до точек М и Р определим из пропорции:

х/8 = 14/(8+16),

х/8 = 14/24,

х = (8*14)/24 = 14/3.

Расстояние по вертикали от точки Д1 до точек М и Р равно 14 - (14/3) = 28/3.

Переведём эти высоты в наклонную длину в плоскости сечения.

Расстояние между точками Р и М равно диагонали основания 16√2.

Отрезок РМ пересекает ОД1 в точке О1.

Cинус угла наклона секущей плоскости к основанию равен:

cosα = ДД1/ОД1 = 14/22 = 7/11.

Отсюда ОО1 = (14/3)/(7/11) = 22/3, О1Д1 = 22-(22/3) = 44/3.

Теперь можно приступить к определению площади сечения.

Площадь сечения S равна площади прямоугольника S1 высотой 22 и шириной 16√2 минус площадь двух пар треугольников S2 и S3.

S1 = 22*16√2 = 352√2 ≈ 497,8032 кв.ед.

S2 = 2*((1/2)*8√2*(44/3)) = 352√2/3 ≈ 165,9344 кв.ед.

S3 = 2*((1/2)*4√2*(22/3)) = 88√2/3 ≈ 41,4836  кв.ед.

Ответ: S = (352√2)-(352√2/3-(88√2/3) = 616√2/3 ≈ 290,3852 кв.ед.