Question

Найдите угол, под которым отрезок, высекаемый на стороне ABAB остроугольного треугольника ABCABC окружностью девяти точек, виден из ее центра, если известно, что ∠A=74∘, ∠B=34∘. В ответе укажите градусную величину этого угла.

Answer 1

Угол.= 2* |∠А - ∠В| = 2 * |74° - 34°| = 2*40° =80°

Answer 2

Пусть M — середина AB, а C′ — основание высоты, опущенной из точки C на сторону AB. Пусть E — середина отрезка CH, где H— ортоцентр треугольника ABС. Искомый угол равен удвоенному углу MEH, поскольку ∠MEН является вписанным углом, опирающимся на рассматриваемый в задаче отрезок. Пусть O— центр описанной окружности треугольника ABC. Поскольку CE=CH/2=OM, причем CE и OM параллельны, то четырехугольник OMECявляется параллелограммом. Отсюда следует, что ∠MEC′=∠OCН. Известно, что ∠OCH=|∠A−∠B|. Этот угол легко считается, если использовать тот факт, что ∠OCA=90∘−∠AOC/2=90∘−∠B=∠HCB, а также, что ∠C=180∘−∠A−∠В. Тогда искомый угол равен 80