Question

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M соответственно, причём ∠ KMC+∠ A= 180°: а) докажите, что KM/AC=BK/BC ; б)найдите отношение AB : BM , если площадь четырёхугольника AKMC относится к площади треугольника BKM как 8 : 1.

Answer 1

Если построить окружность по трем точкам К, М и С, то точка А неизбежно попадет на неё. В самом деле, предположив, что это не так, и рассматривая углы КАС и КА1С (А1 - точка пересечения АС с окружностью, проходящей через К, М, С), можно увидеть, что в треугольнике АА1К внешний угол равен внутреннему, поскольку

угол КА1С = 180 - угол КМС и угол КАС = 180 - угол КМС (это задано в условии).

Поэтому точка А может лежать только на построенной окружности. То есть вокруг АКМС можно описать окружность. 

Если провести в четырехугольнике АКМС диагнонали АМ и КС, то

Угол ВКМ = угол КАМ + угол КМА = угол КСМ + КСА = угол ВСА (углы КАМ и КСМ - вписанные, опираются на дугу АК описанной окружности вокруг АКМС, то есть они равны, аналогично углы КМА и КСА вписанные, опираются на дугу КА, поэтому и они равны).

Теперь видно, что в треугольниках АВС и ВКМ угол В общий, а угол ВКМ = угол ВСА, то есть эти треугольники подобны. 

При этому ВК (в тр-ке ВКМ) соответствует ВС (в тр-ке АВС), а ВМ соответствует АВ.

а) следует непосредственно из подобия треугольников АВС и ВКМ.

б) из условия следует, что площадь тр-ка ВКМ составляет 1/9 от площади тр-ка АВС. Поэтому соответственные стороны этих подобных треугольников отсносятся как 1/3. То есть АВ/ВМ = 3