Question

Ка­са­тель­ные в точ­ках A и B к окруж­но­сти с цен­тром O пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 85°. Най­ди­те угол ABO. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Answer 1

Соединим центр окружности O  с точкой пересечения касательных. Пусть H точка пересечения касательных. Рассмотрим треугольник  AOH : 1) В нём ∠ OAH = 90° так как радиус OA проведён в точку касания A касательной AH, и треугольник AOH - прямоугольный.
2) Так как касательные проведены из одной точки, то отрезок, соединяющий центр окружности и точку пересечения касательных ( в нашем случае этот отрезок OH) является биссектрисой угла AHB . Поэтому  ∠AHO = ∠AHB / 2 = 85° /  2 = 42.5°.  
3) Сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. То есть  ∠AOH +  ∠AHO = 90°. ∠AOH = 90° -  ∠AHO = 90° - 42.5° = 47.5°

Треугольники AOH и BOH равны ( OH общая сторона.  ∠AHB = ∠OHB . AH = BH - как отрезки касательных проведённых из одной точки) 
Поэтому ∠AOH = ∠BOH = 47.5°
Тогда ∠ AOB = ∠AOH + ∠BOH = 95°
Треугольник AOB равнобедренный так как OA = OB - как радиусы.Поэтому ∠ ABO = ∠ OAB = (180° - ∠ AOB) / 2.
∠ ABO = (180° - 95°) / 2 = 85° / 2 = 42.5°
Ответ:∠ ABO = 42.5°