Question

Около окружности единичного радиуса описана равнобочная трапеция,у которой одно основание вдвое больше другого. Найти среднюю линию трвпеции.

Answer 1

Ответ ниже во вложении.

Answer 2

Трапеция описана около окружности, значит суммы противоположных сторон равны между собой и высота трапеции равна диаметру вписанной окружности. Пусть одно основание равно х, тогда второе основание равно 2х. Сумма боковых сторон равна сумме оснований значит равна 3х. Трапеция равнобочная следовательно боковые стороны равны, и тогда одна боковая сторона равна 3х:2 = 1,5х. Рассмотрим прямоугольный треугольние образованный высотой трапеции , проведенной  из вершины и боковой стороной. Второй катет будет равен полуразности оснований т.е.
 (2х-х):2 = 0,5х . Применим теорему Пифагора. (1,5х)^2-(0,5x)^2 = 4(высота равна диаметру и равна 2) Отсюда получаем х = √2. Второе основание 2√2 и средняя линия равна 1,5√2

Answer 3

Давайте обозначим данную трапецию следующим образом:

- \(AB\) и \(CD\) - основания трапеции (где \(AB\) вдвое больше \(CD\)), - \(BC\) и \(AD\) - боковые стороны трапеции, - \(O\) - центр окружности.

Также предположим, что радиус окружности равен 1.

Поскольку трапеция равнобокая, то у неё параллельные основания (\(AB\) и \(CD\)), и боковые стороны (\(BC\) и \(AD\)) равны между собой.

Также, из условия задачи, длина более короткого основания \(CD\) равна половине длины более длинного основания \(AB\). Поэтому \(CD = \frac{AB}{2}\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BCO\), который образован половиной боковой стороны \(BC\) и радиусом окружности \(OB\).

Треугольник \(BCO\) - прямоугольный, так как радиус окружности перпендикулярен к хорде \(BC\), а также является высотой этого треугольника.

Из теоремы Пифагора получаем:

\[\begin{equation} BC^2 = BO^2 + CO^2 \end{equation}\]

Теперь обратим внимание, что \(BC = AD\), так как стороны трапеции равны, и \(CO = \frac{CD}{2}\), так как треугольник \(BCO\) - прямоугольный и \(CD = \frac{AB}{2}\).

Теперь мы можем записать выражение для длины более короткого основания \(CD\) через стороны трапеции и радиус окружности:

\[\begin{equation} BC^2 = BO^2 + \left(\frac{AB}{4}\right)^2 \end{equation}\]

Теперь рассмотрим треугольник \(ADO\), который образован половиной боковой стороны \(AD\) и радиусом окружности \(OA\).

Аналогично, этот треугольник тоже прямоугольный, и мы можем записать:

\[\begin{equation} AD^2 = AO^2 + OD^2 \end{equation}\]

Где \(OD = \frac{CD}{2} = \frac{AB}{4}\).

Теперь мы можем записать выражение для длины более длинного основания \(AB\) через стороны трапеции и радиус окружности:

\[\begin{equation} AD^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 + \left(\frac{AB}{4}\right)^2 \end{equation}\]

Теперь у нас есть два уравнения (2 и 4), которые содержат неизвестную длину более длинного основания \(AB\). Решив их, мы сможем найти значение этой длины.

После того, как найдено значение \(AB\), среднюю линию трапеции (\(MN\)) можно найти как половину суммы длин оснований:

\[MN = \frac{AB + CD}{2}\]

Таким образом, задача сводится к решению системы уравнений (2 и 4) и последующему вычислению средней линии по формуле выше.