Question

Точка P не лежит в плоскости трапеции ABCD. С основанием AD и BC. Докажите (!), что прямая проходящая через середины PB и PC параллельна средней линии трапеции.

Answer 1

Все просто. 1)Рассмотрим треугольник BPC:MK-средняя линия(по условию),которая параллельна основанию треугольника BC;2)Рассмотрим трапецию ABCD:SL-средняя линия,которую мы провели которая параллельна основанию трапеции BC3)MK||BC и SL||BC(по признаку параллельности прямых),следовательно MK||SL

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством параллелограмма и средней линии трапеции.

Обозначим через M и N середины отрезков PB и PC соответственно. Таким образом, PM = MB и PN = NC.

Также, обозначим через Q точку пересечения прямой, проходящей через M и N, с боковыми сторонами трапеции AD и BC. Точка Q является серединой отрезка AD и BC, поскольку M и N - середины соответствующих сторон.

Теперь рассмотрим параллелограмм PMQC. Поскольку PM = MB и PN = NC, а точка Q - середина AD и BC, то PQ параллельна базам AD и BC, и PQ = 1/2 (AD + BC).

Также из свойства средней линии трапеции следует, что серединная линия трапеции параллельна основаниям и ее длина равна среднему арифметическому длин оснований, то есть 1/2 (AD + BC).

Таким образом, PQ || средней линии трапеции и PQ = 1/2 (AD + BC). Но мы уже знаем, что PQ = 1/2 (AD + BC) из рассмотрения параллелограмма PMQC.

Таким образом, прямая, проходящая через середины PB и PC, параллельна средней линии трапеции.