Question

В прямоугольном треугольнике с острым углом 30 градусов больший катет равен 18 см. На какие отрезки делит этот катет биссектриса острого угла треугольника?

Answer 1

Биссектриса делит сторону на 3 отрезка, значит делит оно 18:3=6, а второй отрезок 18-6=12см ********** Ответ: 6см и 12см

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и биссектрисы острого угла. Давайте обозначим катеты треугольника следующим образом:

Пусть \( AC \) - гипотенуза, \( BC \) - меньший катет (который известен и равен 18 см), а \( AB \) - больший катет.

Также пусть \( BD \) - биссектриса острого угла \( \angle ABC \), где \( D \) - точка пересечения биссектрисы с гипотенузой.

Из свойства биссектрисы мы знаем, что отношение \( \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} \).

Мы знаем, что \( AC \) - гипотенуза, поэтому \( AC = \frac{BC}{\sin(\angle ABC)} \) (из определения синуса в прямоугольном треугольнике).

В данной задаче \( \angle ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \), поэтому \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Таким образом, \( AC = \frac{BC}{\sin(60^\circ)} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \) см.

Теперь мы можем использовать отношение биссектрисы:

\[ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{12\sqrt{3}} \]

Теперь нам нужно определить, как BD и CD связаны с AB. Мы знаем, что \( CD = BC = 18 \) см.

Таким образом, мы можем переписать уравнение:

\[ \frac{BD}{18} = \frac{AB}{12\sqrt{3}} \]

Теперь можем найти выражение для \( AB \):

\[ AB = \frac{BD \cdot 12\sqrt{3}}{18} \]

Сокращаем на 6:

\[ AB = \frac{BD \cdot 2\sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, больший катет делится биссектрисой на отрезки в отношении \( 2\sqrt{3} : 3 \).