Question

Отрезок CD-биссектриса треугольника ABC, BC=15 см, AC=10 см. Точка E лежит на стороне BC и EC=6 см. Докажите, что DE|| AC, и вычислите длину отрезка DE.

Answer 1

Я решил на прикрепленном листочке ниже.

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок DE параллелен отрезку AC, мы можем использовать теорему о биссектрисе треугольника.

Теорема о биссектрисе треугольника:

Если биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на две части пропорционально смежным сторонам, то эта биссектриса параллельна третьей стороне треугольника.

Дано: - Треугольник ABC, где BC = 15 см и AC = 10 см - Точка E на стороне BC, где EC = 6 см.

Для начала, построим биссектрису угла BAC и обозначим точку пересечения с противолежащей стороной BC как точку D. Теперь у нас есть треугольник ACD, где BD является биссектрисой угла BAC.

Доказательство параллельности отрезков DE и AC:

Чтобы доказать, что отрезок DE параллелен отрезку AC, мы можем рассмотреть отношение длин отрезков, образованных биссектрисой.

По теореме о биссектрисе треугольника: `BD/CD = BA/CA`

Мы знаем, что AC = 10 см и BC = 15 см, поэтому: `BD/CD = BA/10`

Также, мы знаем, что EC = 6 см. Так как точка D является точкой пересечения биссектрисы с противолежащей стороной BC, то BD + CD = BC. Подставим известные значения: `BD + CD = 15` `BD = 15 - CD`

Теперь мы можем заменить значение BD в уравнении: `(15 - CD)/CD = BA/10`

Упростим это уравнение: `150 - 10CD = BACD`

Теперь рассмотрим треугольник EDC. Заметим, что точка E лежит на стороне BC, и EC = 6 см. Так как DE параллельно AC, то у нас есть подобие треугольников EDC и ABC.

Так как треугольники EDC и ABC подобны, мы можем записать соотношение длин их сторон: `ED/CD = BA/CA`

Используем известные значения: `ED/CD = BA/10`

Теперь мы можем заменить значение BA из предыдущего уравнения: `ED/CD = (150 - 10CD)/10`

Упростим это уравнение: `10ED = 150 - 10CD`

Теперь, чтобы доказать, что DE параллелен AC, нам нужно показать, что отношение ED/CD равно отношению BA/CA. Для этого мы можем сравнить уравнения и увидеть, что оба уравнения имеют одинаковые правые части: `150 - 10CD = 150 - 10CD`

Таким образом, мы доказали, что DE параллелен AC.

Вычисление длины отрезка DE:

Теперь мы можем использовать одно из уравнений, чтобы найти длину отрезка DE. Возьмем уравнение: `ED/CD = (150 - 10CD)/10`

Мы знаем, что EC = 6 см, поэтому CD = 15 - EC = 9 см. Подставим это значение в уравнение: `ED/9 = (150 - 10*9)/10`

Упростим это уравнение: `ED/9 = (150 - 90)/10` `ED/9 = 60/10` `ED/9 = 6`

Теперь мы можем решить это уравнение для ED: `ED = 9 * 6` `ED = 54`

Таким образом, длина отрезка DE равна 54 см.