Question

Два прямоугольных треугольника ABC и ABD имеют общую гипотенузу AB и лежат по разные стороны от нее . Известно, что AD=BC. Докажите , что угол CAB= углу DBA

Answer 1

Так как в четырёхугольнике АСВД равные стороны АД и ВС -противолежащие и углы АСВ и АДВ - прямые и противолежащие, то АСВД - прямоугольник.
АД║ВС и АВ - секущая, значит углы САВ и ДВА  равны.
Доказано.

Answer 2

Два этих прямоугольных треугольника равны по гипотенузе и катету. Если треугольники равны, то и соответственные стороны и углы равны. Поэтому углы AD=BC

Answer 3

Для доказательства равенства углов CAB и DBA воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников.

Пусть угол CAB равен а, а угол DBA равен b.

Так как треугольники ABC и ABD прямоугольные, то углы BAC и ABD равны 90°.

Также, из условия задачи известно, что AD=BC.

В треугольнике ABC по теореме Пифагора имеем:

AB^2 = AC^2 + BC^2.

В треугольнике ABD по теореме Пифагора имеем:

AB^2 = AD^2 + BD^2.

Так как AD=BC, то можно записать:

AB^2 = BC^2 + BD^2.

Таким образом, мы получили два равенства:

AC^2 + BC^2 = BC^2 + BD^2.

Упрощаем:

AC^2 = BD^2.

Так как AC и BD - это стороны прямоугольных треугольников, а по свойствам прямоугольных треугольников стороны, лежащие при прямом угле, равны, то получаем:

AC = BD.

Теперь рассмотрим треугольники CAB и DBA.

У них есть общая сторона AB и равные стороны AC и BD.

По свойству равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СПУ):

Треугольники CAB и DBA равны.

В равных треугольниках соответствующие углы равны, поэтому угол CAB равен углу DBA.

Таким образом, угол CAB равен углу DBA, что и требовалось доказать.