Question

В треугольнике ABC точка I центр вписанной окружности, точка D середина AB. Найдите (AB+BC)/AC если известно, что угол AID прямой.

Answer 1

Треугольник ABC; I - центр вписанной окружности, D - середина AB, E - середина AC; AD=DB=x; BC=2x; AE=EC=y, ∠BAI=∠IAC=Ф.

Из ΔAIE⇒cos Ф=y/AI; из ΔADI⇒cos Ф=AI/x⇒cos^2 Ф=y/x.

Из ΔABE⇒cos 2Ф=y/(2x); 2cos^2 Ф-1=y/(2x).

Избавляясь от косинуса, получаем

(2y/x)-1=y/(2x); (3/2)(y/x)=1; x/y=3/2 

⇒ (AB+BC)/AC=(4x)/(2y)=2x/y=3

Ответ:  3

Answer 2

Информация о задаче

У нас есть треугольник ABC, в котором точка I является центром вписанной окружности, а точка D является серединой стороны AB. Нам нужно найти значение выражения (AB + BC) / AC, при условии, что угол AID является прямым углом.

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. Согласно этой теореме, если точка I - центр вписанной окружности, то отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вписанной окружности с противолежащей стороной, будет перпендикулярен этой стороне. В нашем случае это отрезок ID, который является высотой треугольника AID.

Так как угол AID прямой, то треугольник AID будет прямоугольным треугольником. Используя теорему Пифагора для треугольника AID, мы можем выразить сторону ID через стороны AD и AI.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов. AI^2 + AD^2 = ID^2

Так как точка D является серединой стороны AB, то AD = BD = AB / 2. Заменяем AD в уравнении:

AI^2 + (AB / 2)^2 = ID^2

Так как точка I является центром вписанной окружности, то AI - это радиус этой окружности. Обозначим радиус вписанной окружности как r. Заменяем AI:

r^2 + (AB / 2)^2 = ID^2

Теперь мы можем выразить сторону ID через радиус и длину стороны AB:

ID = sqrt(r^2 + (AB / 2)^2)

Используя свойство медианы треугольника, мы знаем, что точка D делит сторону AC пополам. Таким образом, AD = DC = AC / 2. Заменяем AD и DC:

AI^2 + (AC / 2)^2 = ID^2

r^2 + (AC / 2)^2 = ID^2

Теперь у нас есть выражение для стороны ID через радиус и длину стороны AC:

ID = sqrt(r^2 + (AC / 2)^2)

Теперь мы можем выразить сторону BC через радиус и длину стороны AC. Так как точка I является центром вписанной окружности, то BC - это диаметр этой окружности. Таким образом, BC = 2 * r. Заменяем BC:

(2 * r) = sqrt(r^2 + (AC / 2)^2)

Теперь мы можем выразить выражение (AB + BC) / AC через радиус и длину стороны AC:

((AB / AC) + 2 * r / AC)

Результирующее выражение

Выражение (AB + BC) / AC с учётом известных данных оказывается равным ((AB / AC) + 2 * r / AC).