Question

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность.Вычислите градус этой окружности,если длина катета ,прилежащего к углу в 60 градусов ,равна 2 корней из 3

Answer 1

Треугольник АВС, уголС=90, уголА=60, уголВ=90-60=30, АС=2*корень3, АС=1/2АВ, АВ=2*АС=2*2*корень3=4*корень3, ВС=АВ*sin60=4*корень3*корень3/2=6, радиус=(АС+ВС-АВ)/2=(2*корень3+6-4*корень3)/2=3-корень3, а градус окружности=360

Answer 2

Пусть в прямоугольный треугольник ABC вписана окружность с центром O. Так как угол BAC равен 90°, а угол ABC равен 60°, то угол BCA равен 30°.

Поскольку окружность вписана в треугольник ABC, то отрезок OA является радиусом этой окружности, а отрезок AC — касательной. Так как OA и AC являются радиусом и касательной, проведенными к одной и той же точке окружности, они перпендикулярны друг другу.

Обозначим длину катета BC как "a". Так как треугольник ABC прямоугольный, то AB = a√3. Отрезок AC состоит из двух катетов, поэтому AC = 2a. Из прямоугольного треугольника ABC можно найти длину отрезка AO с помощью теоремы Пифагора:

AO² + OA² = AC² AO² + r² = (2a)² AO² + r² = 4a² (1)

где r - радиус окружности.

Из свойства вписанного угла треугольника можно получить следующее:

АО * AC = AB² r * 2a = (a√3)² = 3a² 2ra = 3a² r = 3a/2

Подставим это значение в уравнение (1):

AO² + (3a/2)² = 4a² AO² + 9a²/4 = 16a² AO² = 16a² - 9a²/4 AO² = 64a²/4 - 9a²/4 AO² = (64a² - 9a²)/4 AO² = 55a²/4

Так как AO радиус окружности, то AO = r = 3a/2, поэтому:

(3a/2)² = 55a²/4 9a²/4 = 55a²/4 9a² = 55a² 9 = 55

Уравнение не имеет решений, что означает, что в заданных условиях прямоугольного треугольника с углом 60° вписанная окружность не может существовать.