Question

Даны вершины треугольника АВС: А(2;-1), В(-1;4), С(5;-3). Найти точку пересечения высот.

Answer 1

Высоты перпендикулярны сторонам треугольника,
следовательно, координаты точки пересечения высот 
можно найти из условия перпендикулярности соответствующих векторов))
векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0.
осталось решить несложную систему из двух уравнений...
и всегда можно сделать проверку)))

Answer 2

Чтобы найти точку пересечения высот треугольника, нам необходимо найти уравнения всех трех высот и решить их систему.

Высоты треугольника — это отрезки, проведенные из вершин к противоположным сторонам и перпендикулярные этим сторонам. Точка пересечения всех трех высот называется ортоцентром треугольника.

Для начала, нам понадобятся уравнения сторон треугольника. Для этого можно использовать формулу наклона прямой и точку на этой прямой.

Пусть A(2, -1), B(-1, 4), C(5, -3) — это вершины треугольника ABC.

Уравнение прямой AB:

Для этого нам понадобятся координаты двух точек A и B.

1. Найдем наклон прямой AB: Наклон (slope) прямой AB можно найти, используя формулу: slope = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Здесь (x1, y1) = (2, -1) и (x2, y2) = (-1, 4). slope = (4 - (-1)) / (-1 - 2) = 5 / (-3) = -5/3

2. Найдем уравнение прямой AB: Теперь, используя наклон и точку A(2, -1), мы можем использовать формулу: y - y1 = slope * (x - x1)

y - (-1) = (-5/3) * (x - 2) y + 1 = (-5/3)x + (10/3) y = (-5/3)x + (10/3) - 1 y = (-5/3)x + (10/3) - (3/3) y = (-5/3)x + 7/3

Таким образом, уравнение прямой AB: y = (-5/3)x + 7/3.

Уравнение прямой BC:

Аналогично, мы можем найти уравнение прямой BC.

1. Найдем наклон прямой BC: (x1, y1) = (-1, 4) и (x2, y2) = (5, -3). slope = (-3 - 4) / (5 - (-1)) = -7 / 6

2. Найдем уравнение прямой BC: y - y1 = slope * (x - x1)

y - 4 = (-7/6) * (x - (-1)) y - 4 = (-7/6)x - 7/6 y = (-7/6)x - 7/6 + 24/6 y = (-7/6)x + 17/6

Таким образом, уравнение прямой BC: y = (-7/6)x + 17/6.

Уравнение прямой CA:

Также найдем уравнение прямой CA.

1. Найдем наклон прямой CA: (x1, y1) = (5, -3) и (x2, y2) = (2, -1). slope = (-1 - (-3)) / (2 - 5) = 2/3

2. Найдем уравнение прямой CA: y - y1 = slope * (x - x1)

y - (-3) = (2/3) * (x - 5) y + 3 = (2/3)x - (10/3) y = (2/3)x - (10/3) - (9/3) y = (2/3)x - 19/3

Таким образом, уравнение прямой CA: y = (2/3)x - 19/3.

Решение системы уравнений:

Теперь у нас есть уравнения трех высот треугольника ABC. Чтобы найти точку пересечения высот, нам необходимо решить систему этих уравнений.

Уравнение прямой AB: y = (-5/3)x + 7/3 Уравнение прямой BC: y = (-7/6)x + 17/6 Уравнение прямой CA: y = (2/3)x - 19/3

Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод подстановки или метод комбинирования.

Подставим уравнение прямой AB в уравнение прямой BC: (-5/3)x + 7/3 = (-7/6)x + 17/6

Теперь решим это уравнение относительно x: (-5/3)x + (7/3) + (7/6)x = 17/6 (-10/6)x + (14/6)x = 17/6 - 7/3 (4/6)x = 17/6 - 14/6 (4/6)x = 3/6 x =Для нахождения точки пересечения высот треугольника, нам понадобится знать уравнения высот. Высота треугольника - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к противоположному ребру и перпендикулярный этому ребру.

Давайте найдем уравнения высот треугольника ABC:

1. Высота, проведенная из вершины A:

Чтобы найти уравнение этой высоты, нам нужно найти уравнение прямой, которая проходит через вершину A и перпендикулярна ребру BC.

Сначала найдем угловой коэффициент прямой BC: k_BC = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (-3 - 4) / (5 - (-1)) = -7 / 6

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет обратным отношением и противоположным знаком: k_perpendicular = -1 / k_BC = 6 / 7

Теперь, используя уравнение прямой в форме y - y_1 = m(x - x_1), где (x_1, y_1) - координаты вершины A, получаем уравнение высоты, проведенной из вершины A: y - (-1) = (6 / 7)(x - 2) y + 1 = (6 / 7)(x - 2)

2. Высота, проведенная из вершины B:

Аналогично, угловой коэффициент прямой AC: k_AC = (y_C - y_A) / (x_C - x_A) = (-3 - (-1)) / (5 - 2) = -2 / 3

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой: k_perpendicular = -1 / k_AC = 3 / 2

Уравнение высоты, проведенной из вершины B: y - 4 = (3 / 2)(x + 1)

3. Высота, проведенная из вершины C:

Угловой коэффициент прямой AB: k_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (4 - (-1)) / (-1 - 2) = 5 / -3

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой: k_perpendicular = -1 / k_AB = -3 / 5

Уравнение высоты, проведенной из вершины C: y - (-3) = (-3 / 5)(x - 5) y + 3 = (-3 / 5)(x - 5)

Теперь у нас есть три уравнения высот треугольника ABC. Чтобы найти точку пересечения этих высот, нужно решить систему этих уравнений.