Question

Биссектриса угла A треугольника ABC (∠C=90°) делит катет BC на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, C и точку пересечения данной биссектрисы с катетом BC

Answer 1

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Следовательно АР - диаметр.
Биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон. То есть АС/СВ=6/10 или АС/СВ=3/5. Тогда  можно сказать, что АВ=3х, а АВ=5х.
По Пифагору  АВ²=АС²+СВ² или 25х²=9х²+16².
Отсюда 16х²=16², а х=4.
Итак, АС=3*4=12 см. По пифагору АР=√(144+36) = 6√5.
Это диаметр искомой описанной окружности.
Ответ: радиус равен 3√5.

Answer 2

Пусть \(BD = 6 \, \text{см}\) и \(DC = 10 \, \text{см}\) - отрезки катета \(BC\), а также \(AD\) - биссектриса угла \(A\). Поскольку биссектриса делит угол \(A\) пополам, мы можем использовать теорему о биссектрисе:

\[\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{AB}{AC} = \frac{6}{10}\]

Теперь, найдем отношение длины \(AB\) к длине \(AC\). Обозначим \(AB\) как \(x\), тогда:

\[\frac{x}{AC} = \frac{6}{10}\]

Теперь, решим уравнение относительно \(x\):

\[x = \frac{6}{10} \cdot AC\]

\[x = \frac{3}{5} \cdot AC\]

Теперь у нас есть выражение для длины \(AB\) через длину \(AC\). Обратим внимание, что \(AB + AC\) - это диаметр окружности, проходящей через точки \(A\), \(C\) и точку пересечения биссектрисы с катетом \(BC\).

Таким образом, диаметр окружности равен \(AB + AC\), а радиус равен половине диаметра. Таким образом, радиус \(r\) окружности:

\[r = \frac{1}{2} (AB + AC)\]

Подставим найденное выражение для \(AB\):

\[r = \frac{1}{2} \left(\frac{3}{5} \cdot AC + AC\right)\]

\[r = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{5} \cdot AC\]

\[r = \frac{4}{5} \cdot AC\]

Таким образом, радиус окружности равен \(\frac{4}{5}\) от длины \(AC\).