Question

В прямоугольном треугольнике abc с катетами ac=18 и cb=24 провели отрезок, соединяющий середины сторон AB и BC. На этом отрезке, как на диаметре, построена окружность. Найдите длину отрезка гипотенузы AB, который лежит внутри этой окружности.

Answer 1

Решение во вложении:

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и окружности, построенной на отрезке, соединяющем середины сторон.

Обозначим середины сторон AB и BC как M и N соответственно. Поскольку M и N являются серединами сторон, то AM = MB и CN = NB.

Также учитывая, что AC и CB - катеты прямоугольного треугольника ABC, можем использовать теорему Пифагора:

\[ AC^2 + CB^2 = AB^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 18^2 + 24^2 = AB^2 \]

\[ 324 + 576 = AB^2 \]

\[ 900 = AB^2 \]

\[ AB = 30 \]

Теперь рассмотрим треугольник AMN. Поскольку AM = MB и CN = NB, а также AM = CN (как половина гипотенузы), треугольник AMN является равнобедренным.

Теперь рассмотрим окружность, построенную на отрезке MN как на диаметре. Согласно свойствам окружности, угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник AMN, в котором один угол прямой (при вершине M) и один угол тоже прямой (из-за окружности). Значит, третий угол в этом треугольнике тоже прямой.

Теперь, рассмотрим треугольник ABC. Так как угол BAC прямой (из-за прямоугольности треугольника ABC) и угол MAN тоже прямой (из-за окружности, построенной на MN), то угол BAM тоже прямой. Следовательно, треугольник BAM также является прямоугольным.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника внутри треугольника ABC: BAM и ABC. Зная, что угол AMB тоже прямой, можем заключить, что треугольник ABM также прямоугольный.

Таким образом, треугольники ABM и ABC оба прямоугольные, и общая гипотенуза AB лежит внутри окружности, построенной на отрезке MN. Ответ: длина гипотенузы AB равна 30.