Question

В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. На прямой AC выбрана такая точка D, что A — середина DC. Перпендикуляр к прямой DC в точке A пересекает отрезок BD в точке E. Докажите, что углы DBA и BCE равны.

Answer 1

Пусть ∠EDC=∠ECD=α; ∠DBA=β⇒∠BAC=∠EDC+∠DBA=α+β⇒∠BCA=α+β
⇒∠BCE=∠BCA - ∠ECD=α+β - α=β⇒

∠DBA=∠BCE, что и требовалось

Answer 2

Ответь подробно. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. На прямой AC выбрана такая точка D, что A — середина DC. Перпендикуляр к прямой DC в точке A пересекает отрезок BD в точке E. Докажите, что углы DBA и BCE равны.

Вот решение этой задачи:

1. Поскольку A — середина DC, то DA = AC. Также, по условию, AB = BC. Значит, по теореме о равнобедренном треугольнике, углы DAC и BAC равны. Обозначим их за α. 2. Поскольку AE — перпендикуляр к DC, то углы DAE и CAE — прямые. Значит, по теореме о сумме углов треугольника, углы EAD и EAC равны 90° - α. 3. Поскольку углы EAD и EAC равны, то треугольники EAD и EAC подобны по углу-углу. Значит, их соответственные стороны пропорциональны, то есть EA/ED = EA/EC. 4. Поскольку EA/ED = EA/EC, то ED = EC. Значит, по теореме о равнобедренном треугольнике, углы EDB и ECD равны. Обозначим их за β. 5. Поскольку углы DAC и BAC равны α, а углы EDB и ECD равны β, то углы DBA и BCE равны α + β. Значит, углы DBA и BCE равны. Ч.т.д.