Question

Докажите, что четырехугольник ABCD- прямоугольник, если А (-2; -1), B (-4; 1), С (-1; 4), D (1; 2).

Answer 1

Во втором пункте по свойству скалярного произведения: если скалярное произведение не нулевых векторов равно нулю, то они перпендикулярны.

Answer 2

Для доказательства, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, мы можем использовать свойство прямоугольника, которое гласит, что противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны.

Доказательство:

1. Найдем длины сторон AB, BC, CD и DA, используя координаты точек A, B, C и D: - Длина стороны AB: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-4 - (-2))^2 + (1 - (-1))^2) = √((-2)^2 + 2^2) = √(4 + 4) = √8. - Длина стороны BC: BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-1 - (-4))^2 + (4 - 1)^2) = √((3)^2 + (3)^2) = √(9 + 9) = √18. - Длина стороны CD: CD = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((1 - (-1))^2 + (2 - 4)^2) = √((2)^2 + (-2)^2) = √(4 + 4) = √8. - Длина стороны DA: DA = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-2 - 1)^2 + (-1 - 2)^2) = √((-3)^2 + (-3)^2) = √(9 + 9) = √18.

2. Проверим, являются ли противоположные стороны AB и CD равными: - AB = √8. - CD = √8.

3. Проверим, являются ли противоположные стороны BC и DA равными: - BC = √18. - DA = √18.

4. Таким образом, мы видим, что противоположные стороны AB и CD равными, а также противоположные стороны BC и DA равными.

Вывод:

Исходя из свойства прямоугольника, которое гласит, что противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны, мы можем заключить, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Примечание: Данное доказательство основано на вычислении длин сторон и проверке их равенства.