Question

Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Докажите, что точка О- середина гипотенузы.

Answer 1

Тр-ник АВС-прямоугольный
∠С=90град, но он вписанный, тогда дуга, на которую он опирается =180град Гипотенуза содержит центр окружности и являтся диаметром. ОВ=ОА=R, О-середина гипотенузы

Answer 2

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, BC и AC - катеты. Пусть точка O - центр описанной окружности.

Для доказательства, что точка O является серединой гипотенузы, нужно показать, что она равноудалена от концов гипотенузы AB.

Для этого рассмотрим радиус окружности, проведенный из центра O к точкам A и B. Обозначим эти отрезки как OA и OB соответственно.

Так как окружность описана около треугольника ABC, то ее радиус равен половине длины гипотенузы AB. То есть, радиус окружности равен R = AB/2.

Также из свойств описанной окружности следует, что радиус, проведенный к любой точке на окружности, является перпендикуляром к соответствующему хорду. То есть, радиус OA и хорда AB перпендикулярны.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то его гипотенуза AB является диаметром описанной окружности. Следовательно, угол AOB является прямым углом.

Из этого следует, что треугольники OAB и OBA являются прямоугольными, и у них по две стороны равны R = AB/2.

Таким образом, мы доказали, что точка O равноудалена от концов гипотенузы AB, то есть является серединой гипотенузы.

Таким образом, точка O является серединой гипотенузы треугольника ABC, описанной около него окружности.