Question

Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине.

Answer 1

Углы каждой пары равны между собой  (каквертикальные):

∠1=∠4,  ∠2=∠5,  ∠3=∠6.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, несмежных с ним.

Поэтому ∠1=∠А+∠С,  ∠2=∠А+∠В, ∠3=∠В+∠С.

Отсюда сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна

∠1+∠2+∠3=∠А+∠С+∠А+∠В+∠В+∠С=2(∠А+∠В+∠С).

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то ∠А+∠В+∠С=180º. Значит, ∠1+∠2+∠3=2∙180º=360º.

Когда задают вопрос: «Чему равна сумма внешних углов треугольника?», чаще всего имеют в виду именно сумму углов, взятых по одному при каждой вершине. Поэтому следует уточнить формулировку — нужно найти сумму углов, взятых по одному при каждой вершине или сумму всех внешних углов. Сумма всех шести внешних углов, соответственно, в два раза больше: ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2(∠1+∠2+∠3)=720º.

Answer 2

Сумма внешних углов треугольника всегда равна 360 градусов. Чтобы лучше понять, почему это так, давайте рассмотрим каждую вершину треугольника отдельно.

У треугольника есть три вершины: A, B и C. Внешний угол на вершине A образуется, если продлить одну из его сторон (например, AB) и построить отрезок, который является продолжением другой стороны (например, AC). Таким образом, внешний угол на вершине A образуется между продолжением стороны AB и продолжением стороны AC.

Аналогично, внешние углы на вершинах B и C образуются продолжениями сторон BC и BA, соответственно.

Теорема: Сумма внешних углов треугольника равна 360 градусов.

Давайте докажем это:

1. Внешний угол на вершине A образуется между продолжением стороны AB и продолжением стороны AC. Допустим, этот внешний угол имеет меру α.

2. Внешний угол на вершине B образуется между продолжением стороны BC и продолжением стороны BA. Допустим, этот внешний угол имеет меру β.

3. Внешний угол на вершине C образуется между продолжением стороны CA и продолжением стороны CB. Допустим, этот внешний угол имеет меру γ.

Теперь давайте посмотрим на сумму этих внешних углов:

α + β + γ = 180°

Почему это так? Причина в следующем: если мы проследим путь вдоль периметра треугольника, начиная с вершины A и продолжая по часовой стрелке, мы пройдем по всем сторонам треугольника. В итоге, мы сделаем полный оборот на 360 градусов.

Доказательство:

Угол внутри треугольника, образованный двумя сторонами, всегда меньше 180 градусов. Поэтому угол между продолжением стороны AB и стороной AC (внешний угол на вершине A) равен α.

Угол между продолжением стороны BC и стороной BA (внешний угол на вершине B) равен β.

Угол между продолжением стороны CA и стороной CB (внешний угол на вершине C) равен γ.

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Таким образом, сумма внешних углов треугольника равна α + β + γ = 180°.

Так как мы рассматриваем треугольник, а у него три внешних угла, то сумма всех внешних углов треугольника равна 3 * 180° = 540°.

Однако, мы рассматриваем внешние углы, которые образуют продолжения сторон треугольника. Поэтому, чтобы получить сумму внешних углов треугольника, мы должны вычесть из суммы внешних углов всех трех углов треугольника (которая равна 540°) сумму углов треугольника (которая равна 180°).

Таким образом, сумма внешних углов треугольника равна 540° - 180° = 360°.

Ответ: Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360 градусов.